高中数学数列问题高考题型及解题方法初探

王佳兴

摘 要 数列是高中阶段重要的数学知识内容，做好高中数学列的学习能为以后的高等数学学习打下坚实基础。本文主要分析了高中数学当中，数列问题的主要高考题型，并对相关的解题方法进行了探究。通过例题分析高中数列问题的解题技巧，对解决数列问题具有参考意义。

关键词 高中数学;数列问题;高考题型;解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）22-0142-02

前言：按照一定次序排列的一列数被稱之为数列，在高中阶段数列是高考的必考考点。数列中项目的排序极具规律性，这也是解题的关键之处，解决数列问题就是要找出这样的规律，利用公式和技巧解答问题。高中阶段的数列知识内容比较复杂，涉及到的高考题型也比较多样，需要同学们掌握解题技巧灵活答题。

一、数列通项公式运用类型题的解题方法

高中数列中的通项公式是将数列{a_n}的第n项用一个含有参数n的具体式子表达出来，是数列知识的核心内容。要解决数列通项公式运用类型题，需要灵活变化数列的递推公式。在高考中，求数列的通项公式是比较基础性的考题，通常需要根据已知的递推关系求通项公式;或者是根据已知的前n项和第n项之间的关系，来求通项公式。以下题举例：

已知数列{an}满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），求{a_n}的通项公式。

解析：根据题干分析，我们已知等式a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），那么通过公式换算可以得出a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n;可以得出a_n+1-a_n=na_n，a_n+1=（n+1）a_n（n≥2）;所以我们可得=n+1（n≥2）。因此，我们可以得出a_n=··…·a₂=[n（n-1）·…·43]a₂=a₂。那么由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2）等式我们可以令n=2，然后可以得出a₂=a₁;根据题干我们又知道a₁=1，所以a₂=1，将其代入可得a_n=1·3·4·5·…·n=，所以{a_n}的通项公式a_n=。

在解答求解数列的通项公式问题时，一定要利用好题干中的已知条件，还要通过对递推公式等基础知识的灵活运用，找出题干中的潜在条件，在判断出具体的数列类型后再进行解答。

二、数列求和类型题的解题方法

数列求和也是最常见的数列问题高考考点之一。在求和时需要先判断数列的类型然后再根据相关的求和公式进行求解。最基本的求和方法就是公式法，等差数列的前n项和公式为S_n=a₁n+d或者是S_n=n。等比数列的前n项求和公式分为两种情况，当q=1时，S_n=n×a₁;当q≠1时，S_n=或S_n=。

而在题干条件不充足的情况下还需要借助于具有技巧性的解题方法，才能解答数列求和问题。比如，最常见的技巧性数列求和解题方法就是错位相减法。当数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列时，由这两个数列的对应项乘积组成了新数列{a_n·b_n}，对新数列进行求和就可以使用错位相减法。以下题为例：

求数列{n·}的前n项和。

解析：根据题干我们可设a_n=n，其中数列{n}为等差数列，数列{}为等比数列且公比为，满足错位相减法的使用条件。因此，我们使用错位相减法来解题，首先展开公式。S_n=1×+2×+3×+…+n×，然后可知S_n=1×+2×+…+（n-1）×+n×，则S_n=+++…-n×;然后我们经过简化整理可以得出S_n=2--，最終可得S_n=2-。

在利用错位相减法求解数列的前n项和时，一定要通过题干确定被要求求和的数列是否满足{a_n·b_n}的形式，是否满足{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列。必须满足条件才能进行求和，同时要牢记错位相减法的计算要领和公式，在运算当中要灵活的运用。在进行等式化简时，一定要谨慎对待，不要出现疏漏。

三、等差数列与等比数列类型题的解题方法

（一）等差数列

顾名思义，等差数列就是指从数列的第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数的数列，等差数列的公差通常用d表示。在高考题型中，有一类考题是关于考察等差数列的性质，解题的关键就是根据等差数列的各项特性进行全面分析，通过思考将已知条件和隐藏条件，再结合公式与技巧进行答题。以下题为例：

等差数列{a_n}中，已知a₁<0，S₉=S₁₂，该数列在n=k时，前n项和S_n取到最小值，那么k=______。

解析：通过观察题干我们发现，这道例题当中的a₁只给出了一个范围，并没有给出明确的数值，而数列{a_n}的前9项和与前12项和相等。

通过这两个已知条件，我们可以实现等差数列各种公式之间的转换书写，然后根据等差数列的相关公式特点和题干中隐含的条件，进行不断的分化，逐步向所求数据靠拢。由S₉=S₁₂，我们可以先得出与公差d相关的等式，即d=-a₁，那么我们可以根据等差数列的求和公式得出S_n=na₁+=n²+（a₁-）n，由此可以分析出，S_n=（-a₁）·n²+（）·n=-（n-）²+a₁（a₁<0），那么根据二次函数性质我们可以得出，当n==10.5时，S_n最小。但是nN^*，所以n=10或11的时候，S_n可以取到最小值。

（二）等比数列

等比數列是从数列的第二项起，每一项与前一项的比值都是同一个常数，公比通常用q表示。在解决等比数列性质类问题时，也要根据等比数列的特点和基础公式，对已知条件进行转换。通过分析规律找出等比数列的基础项，然后再开始答题。等比数列的相关知识点与等差数列相比略有不同，下表对其中的细节进行了区分。

以下面一道例题演示等比数列的高考常见题型和解题要点：

数列{a_n}为等差数列，a_n为正整数，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且a₁=3，b₁=1，数列，{b_an}是公比为64的等比数列，b₂S₂=64。

（1）求a_n，b_n;

（2）求证++···+<。

解析：（1）设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q，根据题干我们可以得出结论公差d为正整数。那么可设a_n=3+（n-1）d且b_n=q^n-1，然后我們可以根据题干内容得出等式①，以（6+d）q=64我们可知公比q为正有理数，那么d就是6的因子也就是1、2、3、6之一。然后根据推论对①进行拆解，可以得出d=2、q=8，那么a_n=3+2（n-1）=2n+1;b_n=8^n-1。

（2）首先我们从题干中可知S_n是数列{a_n}的前n项和，那么S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）;所以我们可以将所求不等式进行替换，得到②：++…=+++…+，化简②=（1+--）<，由此可证明++…+<。

（三）综合类数列题

在数列类型题中，有一类题会将等差数列、等比数列、函数等内容综合应用。以下题为例：

5.设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ+3.

（1）求{a_n}的通项公式;

（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n项和T_n。

解析：根据题干已知2S_n=3n+3，所以我们可以得出2a₁=3+3，所以可知a₁=3。

那么当n>1时，2S_n-1=3^n-1+3，此时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，即a_n=3^n-1，所以我们可以得出a_n的通项公式为。再来看第二个问题，我们已知a_nb_n=log₃a_n，所以，我们可以得出b₁=，那么當n>1，则b_n=3^n-1·log₃3^n-1=（n-1）×3^n-1，所以可得出T₁=b₁=;那么当n>1时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^n-1），所以3T_n=1+（1×3⁰+2×3^-1+3×3^-2+…+（n-1）×3^n-2），然后我们两个等式相减可以得出：2T_n=+（3⁰+3^-1+3^-2+…+3^n-2-（n-1）×3^n-1）=+-（n-1）×3^n-1=-，所以我们可得T_n=-，经检验，n=1也适合。综上可得，T_n=-。

四、结论

综上所述，高中数列的知识内容具有规律性，应该要做好基础知识的储备。在解决数列问题时，一定要进行细致的分析，快速判断试题类型和考点，这样才能找出正确的解题方法。我们需要在答题时充分分析题干，进行准确的分析，一定要灵活的运用掌握的基础知识进行答题，切忌生搬硬套公式。

参考文献：

[1]林迪.高中数学数列问题的常见类型和解答方法[J].中外企业家，2018（15）：162.

[2]吴雅琴.高中数学数列问题高考题型及解题方法研究[J].中学数学，2017（19）：87-88.