“思”中遇见本质，“教”中发现价值

周静

在苏教版的教材中我们把分数定义为，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。这样定义比较直观，通俗易懂，强调了“平均分”，分母是平均分成的若干份，分子是这样的一份或几份，对理解以后的分数运算也有重要的价值。但是用份数来定义分数，也有一定的缺陷，因为份数中的一份或几份还是与自然数比较接近，并没有让学生能真正体会到分数是一种新的数，是由于自然数已经无法满足我们的需求而产生的一种新数，是实际生活的需要。也会给学生带来思维定式，认为分数就是小于1的，分子都是要比分母小的，对于接下来学习假分数造成负迁移。

张奠宙先生曾在《小学教学》2010年第一期关于《“分数”教学中需要澄清的几个数学问题》一文中，对分数的意义进行了深入的解读，分数的定义一般有以下四种：

定义1（份数定义）：分数是一个单位平均分之后中的一份或几份。

定义2（商定义）：分数是两个数相除的商。

定义3（比定义）：分数是q与p之比。

定义4（公理化定义）：有序的整数对p，q，其中p≠0。

分数的产生，是除法除出来的，当得到的结果无法用整数来表示时，就产生了分數，也是数系的一次扩张。同时也说明了，“商定义”才是分数最本质的定义。因此，份数定义只能是起点，在教学的过程要选择合适的模型进行建模，逐步向更为抽象的分数定义去转移。

一、课前思

由于苏教版教材已在前面安排了两次学习，对于把一些物体看作一个整体其实已经出现过，所以在涉及分数的“份数”意义理解上应该没有什么问题。但是知识之间如何串联？分数的意义、单位“1”、分数单位、分数的发展史，这些知识有的是互相牵扯，有的是互有联系，如何过渡？学生动手操作是否必要？学生在三年级时已经学过分数的初步认识，有过一些经验，从图中也可直观看出平均分后的结果，那么还要不要动手操作？如何顺利导入？是否要逐字逐句地抠概念？对于分数的意义中的重点词如“一个物体”“一些物体”“一个整体”“平均分”“若干份”“一份”“几份”，对知识的拓展到什么程度？学生对概念的认知需要从初步理解到深入理解，那么也需要有一定程度上的延伸，如何把握这个度？

在上这节课之初，我努力想摆脱“份数”的定义，努力向除法和比的意义靠拢，但这样做似乎在行进的过程中竟然“忘记了当初出发的目的是什么了”，因为分数与除法的关系以及比的认识在五、六年级都安排了专题进行学习。于是，我又把教学目的进行适度回归，重新回到“份数”的定义上来，只不过突出强调学生借助直观的操作和数线模型，沟通分数和整数之间的联系和区别，加深对单位“1”的理解，从而理解分数的意义。

二、行中悟

分数的本质究竟是什么？数学家史宁中教授曾在《数学与数学教育》一书中，阐述它代表一件事物的一部分，其本质意义是它的无量纲性。分数无量纲性的意义在于，可以把事物许多不可比的状态变为可比的状态。在本节课中，我先从一个蛋糕到一个图形，再到一个计量单位，最后到一组圆片（单位“1”），突出分数意义的相对性。然后以此为起点抽象到数线上表示，体现分数意义的无量纲性——仅仅是一个新数而已。

在过渡到分数的本质意义时，“分数是相对于整体‘1而言的。在数射线上的0和1之间，标出分数等，是认识分数关键的一步，及早进行，十分重要” 。这是因为数线是一个半抽象模型，它是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。用线段的长度表示分数的大小，无论是一个，还是一些，都是单位“1”。这样表示的好处有很多。首先，它的单位是抽象的“1”。虽然与圆片、三角、长方形等几何图形相比较抽象，但仍然是几何直观，可以帮助学生感知分数的含义。其次，这是数轴的雏形，学生早在学习自然数的时候就已经接触过，这样就很好地沟通了分数与自然数之间的联系。

三、教后感

通过教学发现，用数线表示分数的优越性（譬如分数的性质、分数的大小比较、分数的抽象性、以及0到1之间分数个数的无限性）并没有让学生很好地体会，特别是最后一个环节，在数线上出示整节课所学的分数后，教师没有很好地引导，深为遗憾。

回顾整个教学过程，本来是想借助操作，让学生明白不管分的物体是多是少，只要平均分成三份，其中的两份都可以用三分之二来表示，进而将一个整体的概念扩展到大数目。但是对于操作后的思考，引导得不得力，导致学生无法说出“核心”。

在求同比较环节，突出了三分之二这个分数的本质：与分的东西是什么无关，与分东西的数量多少也无关，只要将这些物体平均分成三份，其中的两份就是这个物体总数的三分之二。

求异环节比较中，使学生认识到：之所以表示的个数不同，是因为单位“1”不同，单位“1”里物体的个数不同，虽然都是单位“1”的三分之二，表示的个数自然也不相同。三分之二这个分数在这里并不是表示一个具体的量，而是表示部分与整体的一种关系。

最后，就是没有处理好学生的自主学与老师的讲授间的关系。感觉老师在课堂上说得比较多，学生说得少。有的需要学生多说的地方，学生不说，师就自己包办了。希望在接下来的教学中要多加反思，力争避免一些不该出现的问题。

四、结语

《分数的意义》这一节课具有很特殊的意义。要重视从学生已有知识经验出发，抓住新知识的生长点。注重让学生在应用中巩固和加深对分数意义的理解。不仅要给学生提供较丰富的学习材料，通过观察比较、分析讨论，归纳概括出分数的意义，而且还要注意让学生经历分数在生活中的应用，深化对分数意义的理解和认识，从而把对分数的认识提高到一个新的层次，同时也为今后学习分数的有关知识打下基础。

【作者单位：太仓市港城小学 江苏】