基于学生数学现实 提升计算认知水平
——以北师大版数学四年级上册《三位数乘以两位数》一课为例

林丽珍

（泉州师范学院附属小学，福建 泉州 362000）

学生的数学现实不仅包括已掌握的知识技能，已积累的一些数学思想方法和数学活动经验，还包括学生在学习的逻辑起点的基础上在课堂当下所得到的数学发展。具体而言，就是随着教学的过程，走完第一步，学生获得一定的经验，这些经验也就成为他们进入下一步学习的支撑，到了第二步获得的经验，又成为第三步学习的支撑。因此，学生的数学现实是动态的、不断完善和发展的。

在教学中，如何基于学生的数学现实，合理地解读、处理教材，采用有效的教学策略，在达成教学目标的同时，从中促进学生认知水平和能力的提升和发展呢？下面以北师大版数学《三位数乘以两位数》一课为例，就如何基于学生的数学现实，提升学生乘法计算的认知水平提出一些策略。

一、进行前测访谈，确定教学重点难点

前测的目的在于找准学生的认知起点，找到学生在旧知与新知间的连接点。《三位数乘以两位数》一课是安排在四年级上册，学生在三年级下册已经学习了两位数乘两位数，通过点子图、表格法、拆分的策略等理解乘法竖式计算的道理。学生已经具备什么水平的运算能力呢？本节课的重难点在哪？笔者对一个班级的学生做了简单的前测：计算 211×42 ，并进行简单访谈。参与测试53人，有30人正确计算出结果，23人出现错误，正确率是56.6%。在正确计算出结果的方法中分别有列竖式、横式拆分、竖式拆分三种，但是没出现运用结合律拆分和画表格方法。从前测结果分析可知，大部分学生能借助已有的经验来尝试解决新的问题，有一定的知识迁移能力，还有一部分学生会正确运用拆分乘数再分别相乘的策略进行转化，但是还有近一半的学生在综合运用旧知解决新问题时存在着差距。通过对学生错误进行分类归因，找到学生在旧知与新知间的差距以及对新知认识上的盲区，从而确定了本课的重难点：如何根据乘法的意义对其中的一个乘数进行正确的拆分；加强对竖式计算中“位值”的理解。

二、基于学生的数学现实，突出“通则通法”的教学

教材在三年级上册安排学习两三位数乘一位数的竖式计算过程中就呈现了算式的多样化，其中用表格的方法形象直观地体现位值的思想；此外在两位数乘两位数教学时，教材也呈现了表格法，并让学生结合直观的点子图说说两者间的联系和区别，以帮助学生理解算理算法，并再次体会算法的多样化。经过三年级两个学期的学习，大部分学生已经掌握了用竖式计算乘法的方法，在认知中认可了竖式计算的简洁合理性（如在前测中没有一个学生想到用表格法，也没有出现用乘法结合律来拆分计算）。可见，在学生的学习过程中，这两种算法已经自然地被淘汰，他们都能下意识地在多种算法中“寻求合理简洁的运算途径解决问题”。

基于上述的分析，笔者认为：三年级的两位数乘两位数是学生学习乘法的一个重要阶段，是一个质变的过程，而四年级的乘数是三位数或四位数的乘法，只是一个量变、类推的过程，而且在后续的学习中也没有再用到表格法。此外，根据乘法结合律进行拆分也不具有普遍性（当乘数是质数时）。在四年级再次呈现算法多样化已经没有多大的必要，应该把教学的目标和重难点定位在“明算理懂算法”，即对口算和竖式计算这两种“通则通法”的理解掌握，这些通则通法亦是今后计算小数乘法的重要基础。

三、重视理解掌握，让数学学习真正发生

大量证据证明，学习的知识是表层的，学生记住了知识，并没有理解。“脆弱知识综合征”就是美国学者大卫·珀金斯针对学生知识掌握不到位的情况提出来的一个比喻。［1］每门学科的核心概念并不多，但抓住核心概念十分重要。计算教学的核心就是对算理的理解。结合奥苏贝尔、布卢姆等学者以及哈佛大学的“零点研究”项目提出的有关“理解”的4个维度（一是能不能建立起知识间的联系；二是能不能做出判断以及新的探索；三是能不能运用知识；四是能不能用多种形式表达出来）。［1］本节课的重点就是让学生根据乘法的意义来解释竖式中每一步计算的是什么，然后再引导学生把“横式拆分法”与竖式计算进行连接，比较、沟通它们之间的联系，发现其算法本质上都是“先分再合”，不同的是记录、书写的形式不一样。

在三年级学习两位数乘以两位数时，教师对突破“十位上的乘积如何记录到相应的数位上”这个难点也费了一番功夫，但从前测可以看出，还是有一部分学生只是机械记住，没有真正理解，所以本课的难点在于加深对竖式计算中“位值”的理解，弄清楚竖式中每次乘得的积的数位和数值之间的关系，强调每个数字表示的数值是多少，不能停留于位值中对“位”的表面理解，而应强化位值中“值”的理解。［2］特别是十位上的乘积，如114ד2”（2个十），不能仅仅让学生记住结果要对齐在十位，更要明白为什么要与十位对齐，因为这个“2”在十位，表示2个十，2个十乘114，得到的是228个十，所以把8写在十位上。然后再与先前学的乘法竖式进行比较，让学生明白这节课新增的百位上这个数字与其他数字相乘的计算结果该怎么记录。这样着眼于学生对位值的理解，让学生“循理入法”，感受到“法中有理、理法交融”，在掌握算法的同时理解算理。

四、加强适度训练，形成一定的运算能力

在当前的计算教学中，有的教师因为没有对学情充分地把握，对教材呈现的内容也没有进行恰当地处理，在一节课中把很多时间花在算法多样化的教学上。因为片面地强调算法多样化，导致巩固练习的时间得不到保证。计算是一种技能，如果没有通过训练，便难以达成。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中教学建议的第三条就明确指出，“基本技能的形成，需要一定量的训练”。因此，笔者认为，但凡计算课，不能光靠“纸上谈兵”，一定要让学生有一定量时间的笔头训练，要注重训练的实效性，才能保证学生形成相应的计算技能。

五、基于学生的数学现实，尝试评价和建构

英国南安普敦大学的范良火教授一次在北师大版教材培训活动中提出关于在算法教学中建构学生认知发展模型的观点，他把学生的认知水平分为“知识和技能”“理解和掌握”“评价和建构”三个层级。根据范教授的观点，基于学生的数学现实，笔者认为，在本课新知教学后，可以让学生尝试进行“四位数乘以两位数”或“三位数乘以三位数”的计算，即根据学生在课堂当下获得的数学现实（三位数乘两位数的算理算法），引导他们进行学习迁移，拓展延伸到同类的计算中。教师还可以根据学情介绍台湾的用“视窗”来记录心算的结果的方法、古印度从高位算起的方法等，让学生以小组为单位选择其中一种方法，进行观察、分析和评价，使其不仅明白“虽算法不同，但算理相同”，而且通过评价交流，进一步感受乘法计算的历史发展变化，从而拓展学生的视野，建构和优化学生的认知结构，以期达到计算的第三个认知水平。

作为一名数学教师需要了解学生学习某一内容时的数学现实，知道学生是怎样学习这一数学内容的、可能会遇到什么困难等，才能知道该如何处理教材，实施有效的教学活动。基于学生的数学现实，才能让教学设计有依据、让教学活动有方向、让教学进程有次序、让教学结果有参照，学生在课堂学习中才能发挥自主能动性而达到最大的自我发展，从而构建和谐的生本课堂。

［1］郝京华．学生可能真的从来没有学会过！请警惕“脆弱知识综合征”［EB/OL］．［2017-10-31］．http ：//www．yxtvg．com/toutiao/5139319/20171031A07DTF00．html．

［2］孙兴华，马云鹏．小学数学教师如何处理学生计算错误的研究——以两位数乘两位数为例［J］．数学教育学报，2016（5）．