从草稿纸中发现的数学问题

张学兵　崔文硕

[摘 要] 本文作者从平时常用的草稿纸中发现了值得研究、思考的问题，所以我们平时要学会用数学之眼看生活，要用学到的知识解决生活中的问题，从我们周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会数学就在我们身边.

[关键词] 草稿纸；数学问题；反思

在平时的学习中，我们要学会用数学之眼看生活，要用学到的知识解决生活中的问题，要从我们周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会数学就在我们身边.

问题

如果将一沓草稿纸（如图1）钉起来，當把用完的纸翻折到最后时，会出现一个因重叠而无法写字的三角形区域. 那么为了节省资源，如何使三角形的面积最小？

猜想

当钉子是折痕中点时三角形的面积最小.

提炼

如图2，∠A=90°，N在线段AC上，M在线段AB上，P在线段AM上（P不与点M重合），Q在线段NC上（Q不与N重合），O是MN与PQ的交点，且O是MN的中点.

求证：S

证明：作△PMO的高PH，△QNO的高QG.

因为∠A=90°，∠AMN>0°，∠QNO=∠A+∠AMN，

所以∠QNO>90°.

所以△QNO的高QG在△QNO外部.

所以点G在边ON的延长线上.

所以OG>ON.

因为∠A=90°，∠AQP>0°，∠MPO=∠A+∠AQP，

所以∠MPO>90°.

所以△PMO的高PH在△PMO内部.

所以H在边OM上.

所以OH

因为O是MN的中点，

所以OM=ON，

所以OH

因为PH是△PMO的高，QG是△QNO的高，

所以∠PHO=90°，∠QGO=90°.

所以∠PHO=∠QGO.

在△PHO和△QGO中，

因为∠PHO=∠QGO，

∠POH=∠QOG，

所以△PHO∽△QGO.

所以=.

所以PH

所以S

所以S+S

所以S

反思

作为上述问题的进一步思考，上述问题还有基于初中知识方法另外的优化解决方案吗？当上文中无法写字的三角形区域中的直角变为锐角或钝角时，是否还有相同的结论？考虑到初高中衔接，你能用初中知识解决下列高中数学训练中的两个常见问题吗？问题2有多种解法，其中哪种方法突出显示了三角形面积取得最小值时的几何意义？

问题1 如图3，某矩形花坛ABCD长AB=3 m，宽AD=2 m，现将此花坛在原有基础上拓展成三角形区域，AB，AD分别延长至E，F，并使E，C，F三点共线. 当AF的长度是多少时，△AEF的面积最小？

问题2 如图4，过点P（3，2）的直线l交x轴正半轴和y轴正半轴于A，B两点，求使△AOB面积最小时l的方程.