数学化活动：培育学生的“准代数素养”

谢红

摘 要：“准代数素养”是学生数学素养的重要确证与表征。在数学教学中，教师可以引领学生展开数学化活动，激发学生的关系思维，引发学生的符号思考，积淀学生的代数思想，从而精准把握算术思维、准变量思维与代数思维之间的动态关联。

关键词：数学教学；数学活动；准代数素养

众所周知，小学阶段的数学学习主要是“算术”，初中阶段的数学学习主要是“代数”。“算术”侧重于对“数”和“数量”的理解，而代数则侧重于对“符号”和“关系”的理解。从这个层面上说，“算术”主要依赖于程序思维，着重利用数、数量计算求出答案；而“代数”主要依赖于关系思维，着重于发现关系和结构。因此，“算术”和“代数”天然地存在着鸿沟。如何引导学生实现从“算术思维”到“代数思维”的过渡，帮助学生做好知识和思维的准备？笔者认为，可以借助数学活动，培育学生的“准代数素养”。

一、数学化活动，激发学生的“关系思维”

从对“数”“数量”本身的思考过渡到对“数与数”“数量与数量”之间关系的思考，是学生“准代数素养”生成的重要标识。数学活动能够让学生实现从对“数”“数量”的关注到对“数与数”“数量与数量”之间的结构转化。脱离了学生的数学活动，学生的关系思维就容易蜕变成一种机械模仿，学生遇到复杂的数量关系就会手忙脚乱甚至手足无措。通过数学活动，学生能够积淀经验，形成对“关系”的深度思考。

例如对于这样一道文字题——“比一个数的3倍少3是156，这个数是多少？”不少学生依据固有的解题经验，运用“算术方法”，看到了“少”字就毫不犹豫地用上了“减法”，列式为“（156-3）÷3=51”，结果发生错误。显然，学生没有展开数学化活动，而是基于自己对算式的感性直觉，结果发生了错误。如何让学生体验到算术思维和代数思维的差异？笔者在教学中引导学生展开数学化活动。从算术角度来说，要求学生画出线段图，在画的过程中，理解“1份数、3份数和156”。指导学生先画出线段表示“1份数”，再画出线段表示“3份数”，然后画出线段表示“156”。只有通过画线段图的实践活动，学生才能够理解它们之间的复杂关系。从代数角度说，要求学生摆正已知数和未知数之间的关系，让未知数量和已知数量具有平等的地位，重点是让学生建立数量之间的相等关系，然后列方程求解。通过数学化活动，学生对于算术和方程之间的差异形成明晰的认知，比如算术解法讲究因果关系、逻辑推理、逆推求解；而代数解法从关系、结构入手，步骤较多，过程冗长，顺向求解。通过数学化活动，学生锻炼了关系思维，形成了代数求解经验，发展了“准代数素养”！

在数学教学中，教师要丰富学生的符号表象，孕育学生的符号意识，催生学生的符号想象，启迪学生的符号思维。通过数学化活动，逐步引导学生从“算术思维”向“代数思维”过渡。小学的数学化活动，要立足于既能让学生用“算术的眼光”思考问题、用“算术的方法”解决问题，又能让学生用“代数的眼光”看待关系、用“代数的思想”处理数量。学生便能逐步建立关于条件和问题的基本数量关系和结构，从中学生能够体会到代数思想解决问题的必要性、重要性。

二、数学化活动，引发学生的“符号思考”

学生形成“准代数素养”，不仅仅表征在对关系的理解和建立上，更表征在能用符号展开数学思考。“符号思考”能力不同于“符号感”，“符号感”是朦胧的、感性化的，而“符号思维”则是清晰的、理性化的。在小学阶段，学生的符号思维主要体现在两个方面：一是“理解并会运用符号表示数、数量关系和变化规律”；二是“用符号进行运算和推理”。教学中，教师要通过数学化活动让学生感受、体验、领悟到符号的特质，即符号具有简约性、抽象性、统一性。

例如，教学苏教版五年级下册《简易方程》，学生遇到这样的问题：地球表面积为5.1亿平方千米，海洋面积为陆地面积的2.4倍，海洋和陆地面积分别是多少？在“自主性探学”“合作性研学”过程中，有小组出现了这样几种解决问题的方法：一是算术解法，即将陆地面积作为1份数，海洋面积就是2.4份数，地球表面积就是3.4份数，然后学生根据对应份数求解；第二是方程解法，有学生设海洋面积为x，陆地面积就是x÷2.4，但列出方程后无法求解；第三也是方程解法，设陆地面积为x，海洋面积就是2.4x，学生列方程后顺利求解。教学中，教师要引导学生比较两种未知数的设法，启发学生的符号思维：为什么有些方程会解，有些方程不会解呢？用字母设未知数列方程有怎样的注意事项呢？正是在数学化的活动中，学生对用符号列方程进行分析、提炼，建立起列方程解决问题的一般数学模型，由此提升学生的代数思想、代数素养。

又如教学《用计算器计算》（苏教版小学数学四年级下册）时，学生遇到了这样的一道习题：小明的计算器上的一个数字键5坏了，你还能用小明的计算器解决下面的这些计算题吗？学生在学习中展开了丰富多彩的探究，最后学生抽象概括，深化了理性认识。于是，有学生用图形概括，如“☆-△”=（☆+○）-（△+○）或“☆-△=（☆-○）-（△-○），也有学生用符号进行概括，如“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。符号化的表达，培养了学生初步的关系思维、结构意识。

“代数”不同于“算术”的一个显性特征就是符号。学生从算术思维过渡到代数思维，其中最为显性的表征就是学生符号意识的生成、符号思维的发展。教学中，教师应找准数学符号的生发点、生长点和生成点，激发、催生学生的符号意识、符号思维，鼓励学生运用符号、解释符号、创造符号，并且引导学生加强符号之间的相互转换。

三、数学化活动，积淀学生的“代数思想”

法国著名思想家、数学家笛卡尔曾经这样说，“任何问题都可以转化为数学问题，任何数学问题都可以转化为代数问题，任何代数问题都可以转化为方程问题”。可见，方程、代数不仅仅是数学问题解决的方法、策略，更是数学的思想、观念。有了代数思想，学生就能将复杂的问题简约化，就能将感性的思考理性化，就能将具体的形象抽象化等。

在数学教学中，教师要引领学生经历数学知识符号化的过程。例如，四年级有这样一道探索规律的习题：用火柴棒摆一个三角形需要3根，摆两个三角形需要5根……摆10个三角形需要多少根？99根火柴棒能够摆成几个三角形？教学中，教师引导学生“以小见大”找规律，从简单的情形开始探索。1个三角形是3根火柴棒；2个三角形是5根火柴棒；3个三角形是7根火柴棒；……有学生发现，每增加一个三角形，就增加了2根火柴棒，10个三角形就比1个三角形多2×9等于18根火柴棒，一共是21根火柴棒；有学生发现，火柴棒的根数是三角形个数的2倍多1根；……在学生自主发现规律的基础上，教师要引导学生运用字母表示规律，帮助学生建构模型：S=2n+1。有了這样的模型，学生就能快捷地解决问题，如摆100个三角形需要201根火柴棒，99根火柴棒能够摆成49个三角形。不仅如此，学生在经历了符号化的规律探寻后还能够展开类比推理，比如摆1个正方形需要4根火柴棒，摆2个正方形需要7根火柴棒，……摆n个正方形需要3n+1根火柴棒。可见，学生的数学符号意识不是通过传授培养的，而是学生在能动地“悟”与“用”的过程中逐步形成的。同样的问题，不同的学生，其分析就会不同，其概括也会不同，但都是学生真实思考过程的展现，都可以看成是学生“代数思维的萌芽”。

又如，教学《用字母表示数》（苏教版小学数学五年级上册），学生用小棒摆三角形，从1个三角形需要3根小棒，2个三角形需要2×3根小棒，3个三角形需要3×3根小棒……怎样用一道算式表示三角形的个数与小棒根数之间的关系呢？通过数学化的摆三角形活动激发学生创造符号的心理需求。学生自主创造符号表示三角形个数与小棒根数的关系。在学习中，学生理解了符号不仅可以表示确定的数量，也可以表示变化的数量；不仅可以表示未知的数量，而且可以表示已知的数量。在这个过程中，学生自然能够感受、体验到数学符号的力量。

学生数学“准代数素养”的形成是一个循序渐进、潜移默化的过程，同时，也不是一蹴而就的，而是一个系统的工程。教学中，教师应该引导学生展开符号化活动，让学生运用“代数的耳朵”与“代数的眼睛”来思考算术及其问题，挖掘其中萌芽的“代数的种子”，既展现“算术程序或步骤”，也呈现“代数关系或结构”，进而精准地把握算术思维、准变量思维与代数思维之间的动态关联。