梳影横斜题清新
——三道以导数为工具的复合函数新题解法赏析

湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区

李红春 (邮编：430312)

函数的零点问题是函数、方程、不等式、导数等内容交汇处的一个十分活跃的知识点，也是高考中的一个热点题型，随着高考对函数零点问题考查的日渐深入，其题型也显得愈加灵活多变．近几年，形如“h(x)=f(t)-c”的“嵌套型函数”问题出现在各类考卷中已不是什么新鲜的事.通常情况下，构成复合函数h(x)=f(t)-c的函数y=f(x)与y=g(x)都是诸如“一次函数、二次函数、反比例函数”等性质熟知的初等函数，这类问题又有新的动向，即将一些图象性质不完全清楚的函数结合在一起，必须先借助导数工具研究清楚函数的的性质．现撷取精彩试题几例，展示其解答过程，揭示解法规律，希望能拓展大家的视野．

图1

例2设f(x)=(x-2)2ex+ae-x，g(x)=2a|x-2|(e为自然对数的底数)，函数h(x)=f(x)-g(x)有且仅有6个不同的零点，则a的取值范围是______．

解由h(x)=0,得f(x)=g(x),即(x-2)2ex+ae-x=2a|x-2|，即(x-2)2e2x+a=2aex|x-2|，设t=ex|x-2|，则t2-2at+a=0，画出h(x)=ex|x-2|的草图，如图2所示，h(x)max=h(1)=e，由图形可知：关于t的方程t2-2at+a=0在区间(0,e)有两个不等的实根，由根的分布知识可知

图2

点评本题的精妙之处在于先将所得方程(x-2)2ex+ae-x=2a|x-2|等价变形为(x-2)2e2x+a=2aex|x-2|，然后再换元拆分．借助导数画出h(x)=ex|x-2|的图象是解题的关键．

例3设定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)，对于任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-log2x]=3，若方程f(x)+f′(x)=a有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.

处理“嵌套型函数”y=f[g(x)]的思路是：先“换元”以“解套”：令h(x)=0，则c=f(t)，这样即可将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=f(x)=x3-3x的零点问题进行处理．导数的引入，让嵌套型函数问题的命题变得更加宽广.