三角换元技巧与竞赛最值问题

江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室

于志洪 (邮编：225300)

本文以部分高中数学竞赛题为例，介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用，供高中师生教与学时参考.

例1(2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题)已知实数x、y满足x2+y2+xy=3，求x2+y2的最大值和最小值.

评注这是一道二元最值问题，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元，结合正弦函数的有界性求得结果.真可谓匠心独具，别有洞天.

例2(2016年全国高中数学联赛福建赛区预选赛高一试题)已知实数x、y满足x2+y2-6x+4y+4=0，记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M，最小值为m，计算M+m.

解由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2，

由于u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根，故由韦达定理可求得M+m=72.还可求得Mm=144.

评注上述解法从已知条件入手，先将题设式进行配方，结合三角换元，将条件三角化后代入目标函数，从而沟通了题设与结论的关系，实现了将代数最值问题化归为三解函数最值问题来处理，最后根据韦达定理，巧妙求得最大值和最小值之和.上述解法，不仅减少了计算量，而且丰富了学生的解题思路，提高了解题速度，其构思巧妙精彩，今人耳目一新.

评注三角换元的目的是去根号.本题中，巧妙使用特定的三角换元一举消除了两个根号，其解法简捷流畅，令人赞叹!

例6(2013年全国高中数学联赛江苏省预赛试题)若实数a、b、c满足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值

评注此题设计精巧，可以从多角度研究，思维分析切口较宽，解法也较多.然而，根据题中条件的结构特征，利用三角换元思想解题可谓别具一格.

①

(i)当x=0时，①成立.

例8(2011年第60届捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题)若实数x、y、z满足：x+y+z=12,x2+y2+z2=54，分别求xy、yz、zx的最大值和最小值.

评注本题构思巧，方法妙，由于智用了三角换元，从而提高了解题效率，降低了题目的难度.

综上所述可知：上述例1、例2、例4、5的解1及例6、和例8都是利用两个变量.(sinθ,cosθ)或(sin2θ,cos2θ)来换元的，而例3和例5解2则是利用一个变量来换元的.他们的共同优点可将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示，这样就便于我们运用熟知的三角公式进行化简，利于迅速求得其解.

上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目，考题结构简洁，原生形态，看似平常，实乃新奇，构思精巧，意境高远，有着良好的考查检测工能与较强的命题导向功效，很值得我们一同来鉴赏与探寻.这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的某个三角函数来表示，从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简，直至问题的解决，这种代换思想符合新课程改革的理念精神，利于学生融会贯通课本知识，利于激发学生学习的积极性，利于发展学生的数学才能，利于拓宽学生视野、启迪思维，利于提高教学质量，利于提高学生分析问题和解决实际问题的能力.故笔者认为：在今后的教学过程中，教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析，要发展学生的认识力，培养学生的创造力，这对学生的全面发展将大有益处.

附练习题

(2)实数x、y满足x2+y2+xy=3求x2+y2的最大值和最小值.(2016年全国数学联赛河北赛区预选赛高二试题)答案：最大值为6，最小值为2.

(3)设实数x、y满足x2-4x+y2+3=0，则x2+y2的最大值与最小值之差是______.(2013年全国数学联赛江苏赛区复赛试题)答案：8.

1 于志洪.应用三角换元法解高考最值问题[J].数学通讯(下半月)，2014(1)

2 于志洪.应用三角换元法解竞赛最值问题[J].数学通讯(上半月)，2015(4)

3 于志洪.代换法求最值十二曲[J].中学生理科应试.2013(4)