三角形内角和的发现与证明

◇王丽娟

纵观几何发展史，三角形是人类认识较早的图形，不管是欧几里得的《几何原本》，还是中国的《九章算术》，都记载了许多关于三角形的定理，“三角形内角和等于180°” 就是其中一个重要的定理。

一发现

公元前6 世纪，古希腊哲学家泰勒斯（Thales，约公元前624—前547 或546年）很可能已经知道了三角形的内角和定理。毕达哥拉斯学派提出，只有三种正多边形（正三角形、正方形和正六边形）能密铺整个平面，据此推测，他们的前辈泰勒斯已经利用正三角形拼图进行数学探究。泰勒斯知道等腰三角形底角相等，等边三角形三个内角相等。他先把六个同样的等边三角形的顶点置于同一点，结果恰好填满该点周围区域，所以六个内角之和等于四个直角，那么三个内角之和就等于两个直角（如图1）。接着，将六个同样的等腰三角形的不同顶点置于同一点，其中每个顶点出现两次，结果也恰好填满该点周围区域，所以六个内角之和等于四个直角，三个内角之和等于两个直角（如图2）；最后用六个同样的不等边三角形来拼图，发现了同样的结果——三个内角之和等于两个直角，即180°（如图3）。

图1 等边三角形拼图

图2 等腰三角形拼图

图3 不等边三角形拼图

关于三角形内角和定理的发现，还有一人不得不提，他就是法国著名科学家、数学家帕斯卡（Pascal，1623—1662年）。帕斯卡在12 岁的时候，没有任何书本的暗示，把一个三角形纸板经过折叠拼凑，发现了三角形三个内角的和等于平角这个结论，这也许是教科书中折叠拼凑实验的最初来源（如图4）。……