高考导函数题型模式探究

李波　张晓斌

[摘 要] 导函数题型是近几年高考数学的热点、难点，在省市自主命题试卷、全国卷中占据着难度制高点，承担着试卷区分度使命. 在高考的导函数题型中，主要考查导数的定义、复合函数求导、运算法则、极值、单调区间、几何意义、零点、极值点偏移等知识.因此，研究高考导函数经典题型，对各类别题型模式进行探究，对高考复习有着重要的作用.

[关键词] 复合函数；二阶求导；洛必达法则；函数零点

问题背景

从2016年开始，包含重庆在内的部分省市，由原来的自主命题转入全国卷. 对我们一线教师如何复习、如何备考以及教师的专业素养等方面都提出了新的要求，特别是在压轴题的考查上：以重庆为例，自主命题主要考查圆锥曲线、不等式及数列等知识的综合，而全国卷命题主要在导数这个模块上立意创新. 笔者通过对近几年全国卷、部分省市自主命题试卷导数试题进行研究，对部分题型模式进行探究.

模式探究

1. 挖掘题目结构特征，构建新函数

对学生复合函数求导的运算规则的考查：

（f（x）±g（x））′=f ′（x）±g′（x），（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），

′=·（g（x）≠0）.

特別是对f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）与f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）这一结构特征的认识，联想到构建复合函数. 在考查中，还常常对这一结构进行逆向考查.

例1 （2015年课标卷Ⅱ理科12题）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0，则使f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

解析：①条件“当x>0时，xf′（x）-f（x）<0”的应用：xf′（x）-f（x）与f′（x）g（x）-f（x）·g′（x）结构类似，容易联系到复合函数求导公式′=，令h（x）=（x>0），h′（x）=<0h（x）在（0，+∞）单调递减.

②条件“奇函数f（x）（x∈R）”的应用：函数h（x）=（x≠0）的奇偶性由y=f（x）奇函数和y=x奇函数决定，h（x）为偶函数，图像关……