打通函数方程，妙解双参问题

陈晓

[摘 要] 已知二次函数零点所在区间求参数取值范围是一个重要题型，是学生得高分的瓶颈.文章列举一些典型的考题，避开线性规划、分类讨论等常规思路，综合运用方程思想、以值代参、变量归一等方法，给出问题的简洁解法.

[关键词] 函数零点；以值代参；变量归一

函数零点是高中数学的一个重要内容，特别是二次函数的零点与方程的根、韦达定理等内容紧密联系，在各级考试中屡见不鲜. 本文结合近期的一些考题，针对二次函数有零点求参数取值范围的这类题型，给出一些简单的解法.

2017年是浙江省高考改革后的首次文理合卷考试，为此在2016年12月浙江省组织了一次全省范围的模拟考试.这次考题从文字叙述、试题风格都与高考保持高度一致，有相当大的参考价值. 这份试卷填空题的最后一题是这样的：已知函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个零点，则3a+b的取值范围是________.

常规解法如下：根据题意，列出a，b所满足的不等式组：

0<-<1，

f（0）=b>0，

f（1）=1+a+b>0，

Δ=a2-4b>0.

作出不等式组所表示的平面区域（如图1所示）

根据线性规划原理，当a=-2，b=1时，3a+b有最小值-5；当a=b=0时，3a+b有最大值0. 所以3a+b的取值范围是（-5，0）.

笔者认为此解法虽然常规，但过程比较麻烦，特别是填空题，有小题大做之嫌. 经过探索，发现f（3）=9+3a+b，即3a+b=f（3）-9.也就是说，要求3a+b的取值范围，只要先求出f（3）的取值范围. 如何求f（3）的取值范围是一个难点. 题目的已知条件是二次函数有两个零点，故可设f（x）=（x-x1）（x-x2）. 上式即为二次函数的零点式，x1，x2是f（x）的零点.

于是f（3）=（3-x1）（3-x2），那么我们最后把问题归结为求（3-x1）（3-x2）的取值……