用换元法证明不等式

王炜

[摘 要] 《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究. 文章将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广.

[关键词] 优美不等式；证明；推广

《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究，下面本文将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广.

问题（第23个优美不等式）在△ABC中，求证：

++≥

证明：设？摇++=s，

则=，=，

=，其中bi>0（i=1，2，3），

所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，

1-sinCsinA=，3-（sinA·sinB+sinBsinC+sinCsinA）=.

在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分别为△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径.

由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，

所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=，

等号成立当且仅当A=B=C=，所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥，

所以s3≥（1）.

要使不等式（1）对bi>0（i=1，2，3）恒成立，必须有s3≥max·.

又由幂平均不等式知≥，

所以≤9，所以s3≥×9，即s≥，

故 ++≥.

等号成立当且仅当A=B=C=.

推广：在△ABC中，n∈N*，求证：++≥·，等号成立当且仅当A=B=C=.

证明：设s=++（n∈N+），

则=，=，

=，其中bi>0（i=1，2，3）.

所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，

1-sinCsinA=，

所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）=.

在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分别是△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径，

由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，

所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=，

等號成立当且仅当A=B=C=.

所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥，

所以sn≥·（2）.

要使不等式（2）对于bi>0（i=1，2，3），n∈N+恒成立，必须有

sn≥max·.

又由幂平均不等式知≥，所以≤3n-1，

所以sn≥×3n-1，

即s≥，

故 ++≥，

等号成立当且仅当A=B=C=.

在《“柯西不等式”引领不等式证明》中，提出问题5：在△ABC中，设n∈N+且n≥4，求证：∑>2，其中∑表示循环和.

其实比问题5更强命题是：在△ABC中，设n∈N+且n≥4，求证：

∑≥>2.

事实上，当n=1时，在△ABC中，求证：∑（1-sinAsinB）≥；

当n=2时，在△ABC中，求证：∑≥；

当n≥4时，在△ABC中，求证：∑≥；

当n=3时，在△ABC中，n∈N+，求证：Σ≥>2.

因为>2×2n-2>2n>2n>4. 因为n≥4，≥=>4，

故原不等式成立.