例谈构造函数妙解不等式问题

李永永

[摘 要] 不等式和函数是高考中重点考查的内容，导数又是解决函数问题的一个重要工具，在一些不等式问题中，若可以依据解决问题的需要恰当地构造函数，并借助导数来处理，定能节约时间，事半功倍.

[关键词] 不等式；构造函数；导数

导数是解决函数问题的一个重要工具，如：求函数的切线、单调区间、最值等，学生只要掌握基本方法和思路，这些问题便可顺利解决. 而一些与函数有关的不等式问题，则需要根据所给不等式的特点灵活地运用化归思想将之转化为常规问题，较为常见的手段是恰当地构造函数，将不等式问题转化为函数的最值问题来处理，从而使得原本棘手的问题迎刃而解，给人一种技高一筹的美感.让我们先从简单的入手：

证明不等式

例1 求证：当x>-1时，恒有：1-≤ln（x+1）≤x成立.

分析：由于在目标式中出现两次x+1，因此通过换元令t=x+1，则t>0.

要证1-≤ln（x+1）≤x，即证1-≤lnt≤t-1.

构造函数f（t）=1--lnt（t>0），则f ′（t）=-=.

令f ′（t）=0，则t=1.

当00；当t>1时，f ′（t）<0.

从而f（t）在t∈（0，1）上为增函数，在t∈（1，+∞）上为减函数.

故f（t）有最大值f（1）=0. 所以f（t）≤f（1）=0，即1-≤lnt.

令g（t）=lnt-t+1，则g′（t）=-1=.

令g′（t）=0，则t=1. 同理，可知g（t）在t∈（0，1）上为增函数，在t∈（1，+∞）上为减函数.

故g（t）≤g（1）=0，即lnt≤t-1. 因此原不等式成立.

点评：在此类题的分析过程中，需要牢牢抓住目标结构的特点：一般地，要证明f（x）≤g（x），x∈（a，b），可以构造函数h（x）=f（x）-g（x），x∈（a，b），利用导数给出单调性，求出最大值h（x）max，只要得出h（x）max≤0，便可证得f（x）≤g（x）. 其他的，要证f（x）≥g（x），f（x）g（x），方法类似.

例2 求證：当a≥1且x>0时，aex-x2>1+x.

证：令f（x）=aex-x2-x-1（x>0），则f ′（x）=aex-x-1.

令g（x）=f ′（x），则g′（x）=aex-1. 因为a≥1，且x>0，所以aex>1，所以g′（x）>0.

故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，所以g（x）>g（0）=a-1≥0，即f ′（x）>0.

故f（x）在x∈（0，+∞）上为增函数.？摇所以f（x）>f（0）=a-1≥0，即f（x）>0.

因此aex-x2-x-1>0，即aex-x2>1+x.

点评：例2与例1的区别在于：构造函数后，需要利用导数的导数研究导函数的单调性. 当然了，这两个例子都是根据不等式的特点直接构造，命题人不会总出思路这么明显的问题.那么，在哪些问题中，命题者可以把构造函数的思路变得不那么明显呢？……