数学建模中常用数据处理方法总结

大连理工大学 王子雄

数学建模的大致思路为：用数学的语言描述、简化、抽象实际问题，运用计算机分析得出模型结果，再回到实际中检验模型的效果，通过灵敏度检验观察模型的稳定性，在确定模型的可行性后对未来情况进行预判，或者给出相对于现状更优化的解决方案。数学建模的一般步骤为：情景分析→模型假设→模型求解→模型分析→模型检验等。

在数学建模过程中经常会遇到大量数据需要整理、分析，即数据处理。在建立模型的初始阶段，对数据的分析有助于我们寻求变量间的关系，形成初步想法；有些模型还可以从大量观测数据中，利用统计的方法直接建立，如回归分析法、时序分析法等；还经常利用数据来估计模型中出现的参数值，甚至还利用数据进行模型检验，比较模型运算出的理论值与相应实际数据的大小。由此数据处理非常重要，下面介绍数据处理常用的方法和使用的软件。

一、基本的数据处理

在数学建模过程中，需要计算数据的平均值、中位数、标准差、方差、最大值、最小值、置信度等。事实证明，只需要Excel，就可以解决这些基本的数据处理问题。Excel可以实现对数据的分类、筛选、排序等操作，让我们对数据有一个初步的认知。我们还可以用Excel绘制直方图、散点图、折线图，从而反映数据的分布信息，随时间的走势以及不同数据所占比等信息。

二、回归分析

回归分析是一种常用的数据分析方法，用来寻找自变量和因变量之间的关系，包括线性回归和 Logistic 回归。它从一组数据出发，确定多个变量之间的具体函数关系之后，再对这些数据之间关系的可信度进行检验。在具体问题中，我们经常会遇到一件事情受到多个因素影响的情况，回归分析的原则是保留产生主要影响的变量，剔除影响不显著的变量，从而减小误差，使结果更贴合实际情况。回归分析一般用来观察未来数据的走势，作出预判，从而为决策者提供一些建议或解决方案。Matlab中的regress（），polyval（）等函数都能进行回归分析。

三、插值与拟合

在建模比赛中，经常会遇到一类问题：寻找自变量x与因变量y的函数关系，这时候我们就需要采用插值与拟合的分析方法。插值是指在平面内有一些离散的点，通过规定格式的函数曲线将这些点连起来，进而寻找离散点之外的其他地方的数值。常见的插值方法有Lagrange多项式插值、Hermite插值、分段线性插值和三次样条插值等。拟合也是已知一些离散点（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），不同于插值的是，拟合不要求所得函数经过全部点，只要求在某种意义下在这些点处的偏差最小。最常用的方法是最小二乘法。具体操作为：先选定一组函数r1（x），r2（x），…rn（x），它们是拟合函数的组成部分，函数f（x）=a1r1（x）+a2r2（x）+…+anrn（x），其中，系数a1，…，an为待定系数，再利用最小二乘法确定系数，即：

求出a1，a2，…an使得J（a1，a2，…an）最小。特别的，如果是多项式拟合，matlab提供命令polymit（x，y，n），n为最高次数，xy为拟合数据，a为所求的多项式系数。

四、主成分分析

该方法应对的是高维数据问题。已知数据一共有n维指标：x1，x2…xn，变量之间存在一定的相关性，信息有重叠。因此要通过主成分分析方法克服相关性与重叠，通过原指标的一些线性组合：

反应原指标的大部分信息，从而达到降维的目的。Matlab中的pcacov函数即可实现主成分分析的功能。该函数的调用方法如下：[vec1，lamda，rate]=pcacov（temp），temp为相关系数矩阵，vec1为主成分的系数矩阵，lamda为特征值矩阵，rate为特征值各自的贡献率。

数据处理在数学建模中起着极其重要的作用，采用准确合理的数据处理方法能够完成看似复杂的实际问题，化繁为简，将定性分析变为定量分析，更科学可靠。上述方法均为作者在参加数学建模比赛中用到的方法，易于理解且实用性强。掌握了Matlab的这些功能，可以大大提高数学建模的效率。

[1]施吉林，张宏伟，金光日．计算机科学计算[M]．北京:高等教育出版社，2013（8）．

[2]司守奎，孙兆亮．数学建模算法与应用[M]．北京:国防工业出版社，2015（4）．