“圆面积公式”的误教与修正

郜舒竹

【摘 要】在小学数学课程与教学中，教师对“圆面积”的学习活动设计存在着误教现象。主要反映为在不是长方形的图形中，使用长方形面积公式。通过历史考察寻找到误教现象的历史渊源，并对其进行了修正。

【关键词】圆面积；误教；重组；变教为学

小学数学课程中，“圆面积公式”的学习通常安排在小学五年级或者六年级，是在已经学习了长方形（包括正方形）、平行四边形、三角形、梯形面积公式以及圆的周长公式之后学习的内容。学习活动设计的基本思路是“化未知为已知”，即将圆形通过“剪”与“拼”的过程，改变成为一个面积相等的长方形，而后利用长方形面积公式推导出圆面积公式。这样的方法通常叫作“重组（Rearrangement）”，也就是把圆形剪开之后重新组合、重新安排的意思。

重组过程初看起来，是将圆形转化为学生已经熟悉的图形，而后利用学生已有的知识和经验进行新知识的学习，是符合学生认知规律的。但在教科书以及实际教学中，却存在着违背数学逻辑规律的误教（Mis-Teaching）现象，进而导致学生对圆面积公式推导过程存在疑惑与误解（Misunderstanding）。

一、“因为像，所以是”的推理

在实际教学中，“重组”的过程通常是先将一个圆形等分为若干扇形，而后將这些扇形剪开后，重组为一个形如长方形的图形，这样的图形可以称为“准长方形（Quasi-Rectangular）”，指的是形状像长方形，但并不是真的长方形。比如，首先将圆形等分为四个扇形，而后重组为一个准长方形（见图1）。

进一步可以将等分的扇形数量增加，引导学生发现分割出来的扇形越多，每一份就会越小，因此重组出来的准长方形的形状就会更接近真正的长方形。……