渗透数学思想，提升数学思维

卞兴

【关键词】探索规律 数学思想 数学思维

在苏教版数学中，之前设有专门的“找规律”版块，改编后把找规律的内容放到了活动课中，实际上，活动课中也多有涉及其他找规律的内容，如《积的变化规律》《面积的变化》……“探索规律”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“数与代数”领域中的重要内容之一，新课标在探索规律的内容中明确指出“发现给定事物中隐含的简单规律”，激发学生用“数学的眼光”去观察、分析思考，进而挖掘获取数学知识的渠道。规律是多样的，但在多次带领学生经历了找规律后，他们也获得了发现一般规律的方法，即观察—猜想—验证—结论，在学生似乎已经掌握找规律后，如何在规律中进一步体会数学思想，让他们的思维有所提升，真正掌握找规律的真谛，这是我们在教学中需要进一步思考的。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“将数学作为一种活动来解释和分析，建立在此基础上的教学方法，称之为再创造的方法。”这句话充分强调了学习数学的正确方法是由学生把要学习的数学知识通过自主活动发现或创造出来，教师的任务则是设计、组织好活动，并引导学生积极参与活动过程，而不是把现成的东西灌输给学生。

一、从简入手，化难为易，让思维有长度

【片段】

在教学苏教版数学五年级下册《和与积的奇偶性》这课时，如何让学生从和的奇偶性关注到加数的奇偶性上来，我进行了这样的设计：

（出示3）师：这是3，它是一个奇数。

（出示3+6）师：加偶数6，现在和是几，是奇数还是偶数？

生：和是9，是奇数。

（出示3+6+5）师：加奇数5，现在和是几，是奇数还是偶数？

生：和是14，是偶数。

（出示：3+6+5+12+15+37+52+78+123+389）师：和是几，是奇数还是偶数？

生疑惑状。

师：显然，现在我们想快速计算出这个式子的和有困难了，但是有一点是确定的，它的和要么是奇数、要么是偶数，那么和的奇偶性与什么有关呢？

生1：可能与加数有关。

生2：可能与加数中奇数和偶数的个数有关。

……

【反思】

想要学生一下子找到和与积的奇偶性很困难，但两个数相加和的奇偶性规律学生在平时的学习中已经有了一定的经验，基于这样的“经验”，我设计了上述4个算式，让学生发现有更优的判断方法，从而激发他们思维的“生长”。化难为简的数学思想也在这里悄然渗透。

事实上，数学中常见找规律的题目，如直接写出999999×999999的积是多少。面对这一题，学生一般无从下手，但仔细分析，想要直接写出积，肯定积有一定的规律，化难为简的思想会让他们得到启示，即从9×9开始思考，接着算99×99，999×999，在算了几次后，规律显而易见，思维也就豁然开朗。因此，我想数学中的化难为简，不是缩短了学生的思维，反而是达到了退一步海阔天空的境地，让学生的思维有了长度。

二、出其不意，整体思考，让思维有宽度

【片段】苏教版数学四年级下册《用计算器计算》

19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=

11116+9876×9=

111115+98765×9=

师：用计算器计算前三题，发现规律后直接写出第四题的得数。

生：第一题结果是100，第二题结果是1000，第三题是10000。

师：那下面两题的结果是？

生：100000、1000000。

师：你是怎么想的？

生：每次的结果添一个0。

【反思】

很明显，学生在写出计算结果时，已经关注到结果的变化，并且知道了结果是如何变化的。如何从数学的角度去探索事物的规律，如何引导他们将目光注意到前面的算式以及算式与结果的联系中，让学生从定式思维中跳出来，领悟“规律”的内涵，是学生学习的一个新起点。出于这样的思考，我对教学进行了修改：

19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=

11116+9876×9=

11111113+9876543×9

在前面三题学生用计算器算出结果后，第四题的结果学生很快得出，理由也和之前一样，结果每次添一个0。但第5题的出现，学生很快进行了思考，他们的回答也有了变化：

生1：我发现前面式子中加数每次都添一个1。

生2：乘数中9不变。

生3：我发现结果中0的个数与前面加数中1的个数有关。

……

一道打破固定思维的算式打破了学生的思维，一道算式的变化引发了学生的观察与思考，一道打破常规的算式将学生的目光集中到寻找联系中去……基于学习是学生的经验体系在一定环境中自内而外地“生长”这一思想，我在引导学生经历“做”的过程和“思考”的过程中促进学生从“经历”走向“经验”，在找规律的教学实践中精心组织适度开放的探究性活动，启发学生拓宽思路，多方位、多角度地寻找规律，再通过交流发展学生的思维。授之以鱼，更授之以渔！

我想在我们的教学中应该多一些这样的出其不意，这样学生的思维才不会受到约束，在面对众多规律的时候，他们才会带着整体的思想，胸中有丘壑，让思维更具宽度。

三、举例验证，数形结合，让思维有深度

【片段】苏教版数学五年级下册《和与积的奇偶性》

在學生初步感知和的奇偶性可能与加数中奇数和偶数的个数有关后，如何引导学生发现和的奇偶性只与奇数的个数有关，我进行了这样的设计。

活动一：任意选取两个不是0的自然数，求出它们的和，再看看和是奇数还是偶数。

学生活动，完成下表。

（1）

（2）投影展示，交流：你有什么发现吗？

根据学生回答板书：

奇数+偶数=奇数

奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

师：这些发现是否正确呢？

生：举例验证。（学生按类举例）

师：有没有不符合这个发现的例子？上述发现是否正确？

师：看来举例验证是个好方法。同学们，想一想，你能用别的方法来说明这三条规律吗？

引导：我们能不能从奇数和偶数的定义上来说说。

我们还可以用图形来说明。（课件出示）

【反思】

通过举例，学生很快能够发现两个数相加和的奇偶性规律，但到底为什么，如何让学生理解其本质，是个难点。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”于是，我从奇數、偶数的定义入手，通过数形结合，让学生去理解。这样设计使复杂问题简单化，抽象问题具体化，促进了学生数学思想的形成，对发展学生的数学思维起了事半功倍的作用。

四、释疑解惑，合情推理，让思维有广度

【片段】苏教版数学五年级下册《和与积的奇偶性》

学生已经理解了两个数相加和的奇偶性规律，发现和的奇偶性与加数中奇数、偶数的个数有关，那到底有着怎样的关系呢？如何让学生的注意力自觉集中到奇数的个数上去呢？我进行了这样的设计：

（1）同时加1个偶数

奇数+偶数+偶数=

奇数+奇数+偶数=

偶数+偶数+偶数=

（2）同时再加1个偶数

奇数+偶数+偶数+偶数=

奇数+奇数+偶数+偶数=

偶数+偶数+偶数+偶数=

（3）继续加偶数

奇数+偶数+偶数+偶数+偶数=

奇数+奇数+偶数+偶数+偶数=

偶数+偶数+偶数+偶数+偶数=

生分别答，说说自己的想法。（引导学生根据之前两个数相加的结论进行推导）

师：如果继续加偶数，和的奇偶性又是怎样的？

生：和的奇偶性不变。

师：如果改加奇数呢？

出示：

奇数+偶数+奇数=

奇数+奇数+奇数=

偶数+偶数+奇数=

生答并说说是怎么想的。（生根据之前的结论进行推导）

师：观察这些式子，你有什么发现吗？

生：加法算式中加偶数和的奇偶性不变。

师：也就是说和的奇偶性与偶数个数无关。

生：加法算式中加奇数和的奇偶性会改变。

师：也就是说和的奇偶性与奇数个数有关。

【反思】

新课程标准指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。因此，推理也贯穿在整个数学学习中。”这一过程，学生在思考现象的过程中掌握了抽象的真理，在这一系列的脑力劳动中获得了一种重要品质——他能用思维把握一系列相关联的情况，也就是学会了思考。长此以往，学生的数学水平就能得到提高。

数学学习中常用到化难为易、数形结合、数学模型、符号化思想以及分类思想等，这些数学思想方法对帮助学生解决实际问题有着重要的作用。在学生学习探索规律的内容时，获得其中的规律当然是重要的，但这不应是唯一的目的。小学数学找规律的重点在于让学生学会用数学的视角分析问题，在规律探索中体会数学思想的重要性，在数学思想的渗透中进一步培养学生的思维意识，这对一个人思维方法、思维形态的发展有重要意义。