自然常数e详解

崔艳　吴娟

摘要自然常数e是最重要的数学常数之一，人们对它却知之甚少，通过对自然常数e的由来 、含义、e在实际计算中的应用及含有e的公式为例，详细解释了这个重要的无理数。

关键词自然常数极限欧拉公式

中图分类号：TP274 文献标识码：A

自然常数e和圆周率，黄金分割数一起被称为“三大数学常数”及“三个最著名无理数”， 和圆周率及虚数单位i一样，e是最重要的数学常数之一，自然常数的知名度比圆周率低很多。e通常用作自然对数的底数，还经常出现在数学和物理学之中，但它从哪里来？它究竟是什么意思？

1自然常数e的由来

在18世纪初，数学大师莱昂哈德·欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。伯努利的问题与复利有关。假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。一年后，你会得到（1+100%）1=2倍的收益。现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）2=2.25倍。而假设银行每月提供8.3%（100%的）复利息，或每周1.9%（100%的）复利息。在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。根据这个规律，可以得到一条通式。如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数，一年后的收益公式为（1+）n。那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+）n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。当n趋于无穷大时，（1+）n并非也变得无穷大，而是等2.718281828459……事实上e就是通过这个极限而发现的，这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数，此后遂成标准，被称为自然常数。e是“指数”（exponential）的首字母，也是欧拉名字的首字母。

2自然常数e的含义

e是所有连续增长过程都共有的基本增长率。e可以表示一个简单的增长率，同时发现连续型复合增长的影响，其中每一纳秒（或者更快）的增长微乎其微，只要当系统呈连续型指数级增长e便会出现，如：种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状系统都能用e来近似，就像每个数字都可以认为和1（基本单位）的呈某个比例，每个圆可以认为和单位圆（半径为1）的呈某个比例，同样每个增长率都可以认为和e（单位增长率）的呈某个比例。这世界上的许多事物有这样的变化率：增长率正比于变量自身的大小。如放射元素衰变时，衰变率和现存的放射性物质多少成正比；资源无穷多社会，人口近似出生率和现存人口数成正比。而此类变化率所确定的解可描述为：如果X的变化率等于变量X自身的倍，那么该变量随时间的函数为X=Ce。其中C是任意常数，而e的直观含义正是增长的极限。因此e并不是一个模糊的、似乎随机的数字，而是表示所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系这样的思想。

17 世纪中叶，数学家们发现双曲线下的面积和自然对数之间有非常奇妙的关系=ln||，并发现许多重要的函数，极限，微分和积分都与自然常数有关。在绘制函数y=e时，会发现对于曲线上任意点的斜率也是e，而从负无穷大到x的曲线下方面积也是e。e是唯一使y=a这个方程有如此奇特性质的数字。在微积分中e也是一个非常重要的数字。同时，自然常数e也是物理学中的一个重要数字，它通常出现在有关波（如光波、声波和量子波）的方程之中。

3自然常数e的计算

（1）利用极限计算自然常数，由数列（1+）极限得到：n为自然数时，n→∞时，则

（2）牛顿提出利用级数计算的方法，用Maclaurin公式把f(x)=ex展开，并令x=1，可以得到：如果级数是收敛的，那么其结果为e，即e=欧拉取上述公式的前20项进行计算给出数 的前18 位：2.718281828459045235。e的无穷级数使我们看到无理数的无序中居然隐含着如此严谨的有序 、简洁与优美。

4自然常数e的应用

“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。比如把100平均分成若干份，使每份的乘积尽可能大。把这个题意分析一下，就是求两个数a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。这里a可以为任意有理数，b必须为整数。此时，便要用到自然常数使a尽量接近e。则b应为100/e≈36.788份，但由于份數要为整数，所以取近似值37份。这样，每份为100/37，所以a的b次方的最大值约为“94740617+167818+32.652”。如分成35或38份，乘积都小于这个数，这就是的神奇之处。

自然常数也和质数分布有关。有某个自然数a，则比它小的质数就大约有个a/lna。在a较小时，结果不太正确。但是随着a的增大，这个定理会越来越精确，这个定理叫素数定理，15岁的高斯发现了这一定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。e的影响力其实还不限于数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。

5含自然常数e的公式举例

5.1欧拉公式

关于e有一个非常著名的公式，即欧拉恒等式：e=cos+isin，(i为虚数单位）把指数函数和三角函数建立了深层次的联系，假定=时，由于sin=0，cos=1因此方程变为e+1=0，这个简单的欧拉公式，完美的把数学中最重要的5个数字e、、i、1、0都联系在一起，还包含了4个运算符——加、乘、取幂和相等。而且这些数字和运算符分别只出现一次，它把看似不相干，甚至矛盾的元素（有理数、无理数和虚数）包含在一个简洁的公式中，也是超越数的数学价值e的最高体现。

5.2双曲函数

双曲正弦函数

双曲余弦函数

双曲函数的起源是悬链线，这个悬链线的方程就是，19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。 在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个长度是有正负的。同理，雙曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的 。悬链线的方程是双曲余弦函数，这个在文章开头已经介绍过。而悬索桥、双曲拱桥、架空电缆及平行直导线单位长度电容等都用到了悬链线的原理。

5.3斯特林（Stirling）公式

斯特灵公式是一条用来取!近似值的数学公式。公式为：

或

一般来说，当很大的时候，!的计算量十分大，斯特灵公式在很小的时候，取值已经十分准确。 其意义在于：当足够大时，!计算起来十分困难，虽然有很多关于!的等式，但并不能很好地对阶乘结果进行估计，尤其是很大之后，误差将会非常大。但利用Stirling公式可以将阶乘转化成幂函数，使得阶乘的结果得以更好的估计。而且越大，估计得越准确。

5.4标准正态分布

设标准正态分布的密度函数为(u)，分布函数为(u)，则

以及泊松分布，指数分布，伽玛分布等等都与e相关。正态分布是自然科学和行为科学中的定量现象的一个统计模型，各种考试分数，测试数值和物理现象比如光子计数等都被发现近似的服从正态分布，正态分布在生活中无处不在。

5.5对数螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系(r, )中，这个曲线可以写为r=aeb或=ln(r/a)。其中，a和b为常数，是极角，r是极径。它是由笛卡尔首先提出的，之后由雅各布·伯努利对其进行了深入的探讨和研究，发现了对数螺线的许多奇异特性，以至于对数螺线（如图1）被认为是在所有的平面曲线中最美的图形。

5.6拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是对于t≥0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

X(s)=x(t)edt

变换为复变量s的函数X(s)。拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

5.7薛定谔方程

作为量子论的基本方程：薛定谔方程为

该方程是1926年由埃尔文·薛定谔发现的，表明了系统的量子态——例如，可解释为在特定位置探测到粒子的可能性——随时间而变化，在研究现代物理学中发挥了极其重要的作用。从数学的观点来看，薛定谔方程和数学一样是取之不尽的。从此公式可以看出自然常数e在量子力学方面也有着重要作用。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”，因此，“自然律”的核心是e 。自然律具有把有序和无序、生机与死寂予以同一形式的特点，在美学上也具有重要价值。

基金项目：亳州职业技术学院教研课题，网络环境下高职数学翻转课堂教学模式的探索与实践（2016bzjyxm03）；2017年度高校优秀青年人才支持计划项目（gxyq2017216）。

参考文献

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