自然常数e详解

崔艳　吴娟

摘要自然常数e是最重要的数学常数之一，人们对它却知之甚少，通过对自然常数e的由来 、含义、e在实际计算中的应用及含有e的公式为例，详细解释了这个重要的无理数。

关键词自然常数极限欧拉公式

中图分类号：TP274 文献标识码：A

自然常数e和圆周率，黄金分割数一起被称为“三大数学常数”及“三个最著名无理数”， 和圆周率及虚数单位i一样，e是最重要的数学常数之一，自然常数的知名度比圆周率低很多。e通常用作自然对数的底数，还经常出现在数学和物理学之中，但它从哪里来？它究竟是什么意思？

1自然常数e的由来

在18世纪初，数学大师莱昂哈德·欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。伯努利的问题与复利有关。假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。一年后，你会得到（1+100%）1=2倍的收益。现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）2=2.25倍。而假设银行每月提供8.3%（100%的）复利息，或每周1.9%（100%的）复利息。在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。根据这个规律，可以得到一条通式。如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数，一年后的收益公式为（1+）n。那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+）n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。当n趋……