三棱锥外接球问题的模式探究

吴文姬

（福建师大二附中）

我们知道棱长分别为a、b、c的长方体，其外接球的直径就是长方体的体对角线，故而其外接球半径要是与长方体共顶点的三棱锥，我们都可以将之补成长方体，从而快速解题.那么由长方体顶点构成的三棱锥究竟有哪些类型呢？

模型1：（三棱互垂型）棱面垂直，底面是直角三角形

如图1，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC是直角三角形，PA=a，△ABC两直角边分别为b，c，则其外接球的半

例 1.在四面体SABC中，SA⊥平面 ABC,∠ABC=90°，SA=AC=2，AB=1，则其外接球的表面积为_________。

解析：如图2，这个三棱锥互垂的三棱分别为SA，AB，BC,故可以将其补成如图3的长方体，因此其外接球半径R=

模型2：（斜边公共型）一棱所对的两个角都是直角

如图 4，已知三棱锥 P-ABC 中，PC⊥AC，PB⊥AB，且 AP=1，

说明：AP中点O到A，B，C，P四点的距离相等，因此AP就是外接球的直径。需要特别说明的是AB与AC是否垂直并不影响这个结论。

例2.在三棱锥P-ABC中∠ABC=，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）。

A.4π B.π C.π D.16π

解析：如图5，在Rt△ABC中，由条件可知∠APC=,因此AC是两直角三角形的公共斜边，即外接球的直径。所以外接球半径R=2,故答案选D。

模型3：（对棱相等型）三对对棱分别相等

如图 6，已知三棱锥 P-ABC 中，PA=BC=l1，PB=AC=l2，且 PC=

例3.四面体中A-BCD中，AB=CD=2，AC=B

解析：如图7，三棱锥A-BCD因三对对棱相等，可以补成如图因此答案为6π。

这三个模型是以长方体为基础的模型中提炼出来，学生在解题时应认真分析图形的结构特征，熟练应用这三种模型，就能化繁为简，大大提高解题效率。

［1］赵舸.三棱锥的三视图问题解法扫描［J］.高中生，2015（33）.

［2］陶涛,刘艳清.用长方体模型解决棱锥外接球问题［J］.高中生，2015（33）.