数形结合思想在小学数学教学中的运用

余淑娥

（三明市三元区第二实验小学，福建 三明 365001）

日本数学史家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》中说道：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识(概念、定理、法则和公式等)全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生。” 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”可见数形结合思想的重要性。“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

一、以形助数，化抽象为具体，帮助学生理解和感悟数学知识

“以形助数”是指用“形”（实物图、几何图、线段图等）将抽象的数学语言、数量关系呈现出来，借助“形”的直观来认识抽象的数学知识。小学生的思维正处于具体形象思维逐渐向抽象逻辑思维发展过渡阶段，但他们的抽象逻辑思维还带有很大的形象思维的成分。“形”这座“桥梁”有利于帮助他们实现这种过渡。

（一）以形助数，阐明算理

算理是小学计算教学的重点，某些算理对于相应年龄阶段的学生来说具有很强的抽象性，如一年级“进位加法和退位减法”，三年级“多位数乘除法”，六年级“分数的乘除法”等，如何帮助相应年龄阶段的学生理解抽象算理是教学的难点。以形助数，借“形”演“理”，是破解这个难点常用的一种方法。例如在教学六年级上册“一个数除以分数”的算理时，学生对于“一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数”算理较难理解，教师可以借助线段图将“数”转化为“形”来进行教学。

1．出示问题情境。

小明2/3小时走了2km，小红5/12小时走了5/6km。谁走得快些？

2．理解题意，列出求速度算式。

小明的速度是“2÷2/3”，小红的速度是“ 5/6÷5/12”。

3．结合数的意义，用线段图将“数”及其关系表示出来。

先画出1小时的2/3也就是2/3小时，再标出2/3小时走的路程2km和1小时的路程？km。

4．看线段图求速度。

小明速度求法：2/3小时里面有2个1/3小时，所以1个1/3小时走了2 km的1/2，也就是（2×1/2）km，1小时里面有3个1/3小时，所以1小时走了（2×1/2×3）km。再用同样的方法求出小红的速度。

5．整理出算式。

小明的速度：2÷2/3=2×1/2×3=2×3/2=3，小红的速度 ： 5/6 ÷5/12=5/6×1/5×12=5/6×12/5=2。

6．观察算式的计算过程，发现 “一个数除以分数的计算方法——被除数乘除数的倒数”。

通过以上化“数”为“形”教学过程，抽象算理就变得直观，学生理解起来就容易多了。

（二） 以形助数，理解数量关系

数量关系的分析和理解也是贯穿于小学数学教学中的一个重点。以文字形式呈现的问题中，有些题目的数量关系比较隐蔽或复杂，学生无从下手，教师可以引导学生将问题情境中的“数”用“形”表示出来，帮助理解题中的数量关系，获得解决问题的思路。例如六年级上学期在解决“姐弟俩共有20张卡通图片，姐姐给弟弟1/5后两人张数一样多，原来姐弟俩各有多少张卡通图片”时，学生对于“1/5”这个数隐含的数量关系往往较难理解，教师可以引导学生将其用线段图表示出来， 那么隐含在其中的数量关系就直观地呈现在了学生面前，学生就容易获得解题思路。

（三）以形助数，沟通联系

有些数学知识之间的联系比较隐蔽，由于小学生抽象思维能力较弱，很难建立它们之间的联系，如三年级上册“12小时计时法与24小时计时法联系”、四年级下册“鸡笼同笼”问题中“鸡脚与兔脚数量变化联系”等，对于这些抽象的联系，教师可以化“数”为“形”，通过动态演示来帮助学生理解和感悟。例如，在教学五年级上册“植树问题”时，为了帮助学生建立“封闭图形与非封闭图形植树数量之间的联系”，教师可以借助直观图的动态演示来进行教学。

1．出示问题情境：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是60m，如果每隔15 m栽一棵，一共要栽多少棵树？

2．画图感悟，理解计算方法。

3．将圆形图示展开拉直（如图）。

4．观察比较，发现“封闭图形植树数量与非封闭图形植树数量的联系”。

通过以上“化曲为直”动态演示，学生就能直观形象地理解“封闭图形的植树数量与非封闭图形的植树数量之间的联系”（封闭图形的植树数量相当于非封闭图形 “一端栽，一端不栽”的情况），加深学生对“植树问题”的理解和感悟。

（四）以形助数，推理验证

在小学数学内容中，有些推理性结论由于受学生认知水平和知识所限，理解起来较为困难，教师可以借助直观图，将“数”转化为“形”来进行推理。例如在教学“分数的基本性质”时，教师先出示“1/2”“2/4”“4/8”这三个分数，让学生猜一猜：这三个分数大小有什么关系？然后引导学生用画图法进行验证（先画三个相同的平面图形，再用涂色办法分别表示出这三个分数），最后引导学生观察“数”和“图”：说一说有什么发现？通过这样“以形助数”的教学，学生就能通过直观图获得“猜测”验证结果。

二、以数解形，化具体为抽象，提高学生数学学习水平

“以数解形”是指用符号化的数学语言如数字、算式等，将“形”中所隐含的数学语言、数量关系表达出来，借助简洁的数学符号来说明数学问题。如果说“以形助数”是适应小学生思维发展特点，那么“以数解形”则是满足小学生学习数学的发展要求。因为提高学生数学化的学习水平是数学教学的必然要求。

（一）以数解形，建立数学模型

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模式并进行解释与应用的过程”。引导学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题（数量关系，变化规律等），帮助学生建立数学模型，是数学教学活动的目的和手段。“以数解形”可以成为实现这一目的重要工具。例如在教学“1/8+3/8=?”时，教师可以先让学生用画图法直观得出“1/8+3/8=4/8”，再引导学生用“1个1/8+3个1/8=4个1/8=4/8”将这一过程表示出来。最后抽象出同分母分数相加计算方法：分母不变，分子相加，初步建立同分母分数相加计算模型。

（二） 以数解形，培养抽象思维能力

小学生的思维是沿着“操作思维—形象思维—抽象思维”路径逐渐发展的。从思维培养角度讲，教学的最终目标就是培养学生抽象思维能力，提高学生的数学思考水平和能力。“以数解形”是训练和培养学生抽象思维能力的重要手段。例如，在解决“一张餐桌可以坐6人，两张餐桌可以坐10人，三张餐桌可以坐14人，按此规律推断，5张餐桌可以坐多少人？8张呢……”这样一个问题时，学生一般会用画图的方法进行解决，但随着桌子数量的增加，他们就会感觉这种方法越来越“困难”。此时，教师可以顺应学生的学习需求，引导学生用数式和字母式将图中桌子的数量与所坐人数关系表示出来（如图），再用计算的办法进行解决，这样学生的抽象思维能力就得到锻炼和提高。

［1］黄忠德．小学数学思想方法的思考与实践［J］．小学教学参考，2009（5）．

［2］顾泠沅，邵光华．作为教育任务的数学思想与方法［M］．上海：上海教育出版社，2009．

［3］王永．小学数学教学中的数学化［EB/OL］．［2014-04-25］． https：//wenku．baidu．com/view/de5bd03b90c69ec3d4bb7521．html．