圆排列的求法及应用举例

徐庆斌

【摘 要】 圆排列不同于线排列，本文通过几个典型的圆排列的应用举例，试图探究一些简单的圆排列的求法。

【关键词】 圆排列；求法；应用

近几年在高考模拟及数学竞赛中经常出现有关圆排列的问题，由于在圆排列问题中，只有在元素不同或元素相同，但顺序不同时，才是不同的排列，与线型的排列不同，这样给求解带来很大的难度。解题中用常规的方法也很难凑效。

首先，要对圆排列进行初步的认识，对于初学者来讲，要弄清什么是圆排列，圆排列有哪些特点。

（1）由n个元素中，每次取出m个元素排成一个圆构成的排列，叫做一个圆排列。

（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列。

通过以下问题探究圆排列的问题的解法。

一、没有附加条件的圆排列

例1：由五个不同的珠子串成一个圆环，有多少种排列？

解析：由五个不同的珠子串成一个圆环，正面有4！种。但圆环反过来，另一面如果和正面的顺序相反，也是同一排列，故共有排列数为■=12种。

注意：任意一个正反面不同的圆排列，一定存在一个圆排列是它的反面，这个反面的顺序和正面不同，刚好和正面中位置相反的一个排列是相同的，在考虑圆排列时需要注意这一点。另外，由于圆环的转动，虽然位置发生了改变，但其相邻的位置都没有改变，它们还是同一个排列。

例2：有10个学生，从中抽出5个学生围成一圈做游戏，问有多少种不同的排列方式。……