丰富过程，让思维走向深入

曾潇洁 苏瑜

【教学内容】苏教版小学数学四年级下册

【教学目标】

1.使学生在具体情境中认识列和行的含义，指导确定第几列、第几行的规则；初步理解数对的含义，会用输的表示具体情境中物体的位置。

2.使学生经历由具体实物抽象成点子图，由语言表示抽象成数学表示的过程，初步感悟数形结合的数学思想，让学生在探索知识的过程中发展空间观念，提高抽象思维能力。

3.使学生体验数学与生活的紧密联系，拓宽知识视野，激发学习兴趣。

【教学重点】在具体的情境中，能正确运用数对描述出物体的位置。

【教学过程】

创设情境，引发问题

1.情境提问：小军坐在哪？你能描述出他的位置吗？先想一想，把你的想法写下来。（见图1）

2.资源对比：展示学生写法（图2），结合图轻声地读一读，你能读懂他们的描述方式吗？

你有没有想法或者问题需要提出来？

3.引导聚焦：对小军的位置的描述，不同的角度观察，描述结果不一样；

但描述方法不清楚就会使人产生误解，只有讲清楚怎么数才能确定小军的位置。

4.揭题课题：这就是今天我们要研究的重要的数学问题——确定位置。

（板书：确定位置）

【评析：利用情境，激活学生描述物体位置的已有经验；通过结构性的资源对比，在对比、争辩与反思中唤醒学生对确定位置时的精准表达，从而产生统一的需求。】

二、逐步抽象，建构概念

1.统一列行

（1）提问：在数学上究竟该怎样确定位置呢？你能大胆地想象一下吗？

统一列行：竖排叫列，横排叫行，确定第几列，通常从左向右数，确定第几行，通常从前向后数。

交流：读一读、想一想，你能找到例图的第1列吗？第1行呢？全班一起指认列和行。

（2）提问：你能用列和行的表述方式确定小军的位置吗？把你的想法写下来。

资源对比：他们都可以确定小军的位置吗？

有什么不一样的地方？

你又有什么新的问题？（见图3）

再次统一：列在前，行在后。规范小军位置：第3列第2行。学生调整。

追问：那你能描述出小英的位置吗？（第5列第4行）小华呢？（第1列第6行）

第6列第1行是谁？（指明指认）

对比：比较自己两次对小军位置的描述，你有什么想说的？（板书：精确、简洁）

【评析：学生自然产生的问题和需求更容易凸显“确定位置”的思想，并因其与已有经验的描述 “从前往后”“从左往右”相一致，从而显得规定行和列这一新知识的合理和自然。学生在数形结合的品读与探究中感悟列行的规则；但学生即使统一了列行，又产生了新的问题：到底先写列还是先写行？从而进行二次统一；最后把小军位置的两次描述进行对比。这种逐渐推进统一的过程，让学生自然却强烈感受到用“第几列第几行”表达方式的精确性和简洁性。】

2.统一数对

（1）对比中国和其他不同国家对小军位置的描述。（见图4）

矛盾聚焦：由于语言不通，又会使人产生误解。能不能想一种办法，让全世界的人都能看得懂？

（2）学生活动：创造表示方法。

交流：展示学生的创造（见图5）你觉得怎么样？ 这些方法有什么共同之处？

（3）数学文化：介绍数对创始人笛卡尔。

简述数对（3，2）的含义及读写法。

（4）完善课题：用数对表示位置的方法就叫“用数对确定位置”。

（5）追问：数对（3，2）表示什么意思？

你能用数对表示出小英和小华的位置吗？（5，4）（1，6）

（6）对比：两种确定位置的描述方式，你更喜欢哪一种？为什么？

【评析：前面的学习活动让學生感受到描述不清楚会产生误解，从而形成的认知统一，那么多国语言描述所产生的语言误解，让学生更深入地体会二次统一的必要，在矛盾与探索中逐渐经历数对的抽象过程，理解数对的本质。】

三、实际应用，加深巩固

抽象成圆圈图，用数对表示。

参照：我找的数对是（ ， ），表示图中第（ ）列第（ ）行的位置。同桌相互说一说。

反馈聚焦：用的数字相同，位置怎么不同？例如：（2，5），（5，2）

数字完全相同表示的意思一样吗？例如：（3，3）

用数对表示自己在教室里的位置。

统一确定教室里的第1列和第1行；明确自己在教室的第几列和第几行。

用数对表示自己所在的位置。

用数对描述出好朋友的位置，让别人猜一猜。

师报数对生起立：（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）……你发现了什么？

观察数对，你又有什么想说的？（同一列的数对，列数相同。）

由“同一列的数对，列数相同”，你还能想到什么？（同一行的数对，行数相同。）

大胆想象，还有哪些数对也会出现在一条直线上？他们有什么特点？

生活中的数对运用。

你能用数对表示下面4块瓷砖的位置吗？（见图5）

观察数对，他们有什么规律？

按照这样的规律再贴2块瓷砖，你觉得应该贴在哪里？你是怎么想的？

照这样的规律，如果给定瓷砖的位置用数对（99，98）表示，那它上面的的那块瓷砖在哪？用什么数对表示？右边那块瓷砖呢？（见图6）

生活中你还见过哪些用数对确定位置的情况？（国际象棋、飞机票、高铁票、地球仪……）

【评析：练习的设计分三个层次：首先，把实物图抽象成圆圈图，找出数对并说出其表示的意思，强化用数对确定位置的规则内涵；其次，通过用数对表示自己在教室的位置，拉近学生与数对的距离，并在不断游戏变换中感受数对的规律，学会用数学的眼光发现问题，思考问题；第三，让学生充分联系生活实际体会数对的意义，学会数学推理，感受“变与不变”的数学思想。】

四、全课总结，拓展延伸

1.通过今天的学习，你有什么收获？

2.抽象线状图。你还能找到数对吗？它在哪呢？下节课我们再来研究……

【总评】

数学概念是人们反映客观事物中有关空间形式和数量关系的抽象概括，蕴含着数学思考的条件、方法与规则，具有抽象性和概括性；概念是开展其他内容学习的核心和基础，对学生后续的学习有着直接的、深远的影响，它具有极强的基础性。四年级下册《用数对确定位置》就是一节形概念课，是学生后继学习用方向和距离确定位置的支撑点和着力点。就这一节课而言，用数对怎样确定位置，为什么有这样的规定？这是孩子们需要理清，但又说不清的道理。课堂上，曾老师抓住概念本质，带着学生经历概念的发生发展过程，促进学生主动从事数学活动，并在学生需要的时候给予恰当的帮助，促进他们的思维走向深入。整节课，没有追求知识的“一步到位”，而是重在让学生体验到概念发展的阶段性，符合学生的认知规律；没有把概念过早地“符号化”（限制思维、创新），而是延长知识点发生与发展过程，让学生充分经历“非正式定义”的过程；没有追求“统一化”“最佳化”（知识点理解与表达方式、问题的求解思路等方面），而是致力于“合理化”“精准化”和“简洁化”，使得学生对知识的真正理解（自主建构）和个性化发展成为可能。

1.把已有经验作为资源，让思维从无序走向有序。

许多数学概念是从日常生活概念中抽象发展而成。但由于生活概念的宽泛性、易变性、多义性，容易对学生学习抽象的数学概念造成错误的、模糊的的理解。所以，在概念学习时要密切联系学生的原有经验，聚焦核心内容，让学生亲身经历借助对生活概念的观察、分析、逐步抽象出数学概念的本质特征。

“你能描述出小军所在的位置吗？先想一想，再把你的想法写下来。”鼓励学生充分调用已有的知识经验和生活经验，用自己的语言表达描述位置的想法，教师直接呈现出他们不同的想法。当学生用书面语言描述位置时，也就是思维从直观走向抽象的过程。教师帮助学生实现逐步抽象这一过程，并创造条件（展示在投影上），让孩子们以对比的形式再认识自己的描述方法。“轻轻读一读这些描述方法，你能读懂吗？你有没有想法或问题需要提出来？”

“第一种，没有说清楚哪里是第一排。”

“第二种描述方法，没有说清楚是从哪边数起的。”

“第三种，好像说明白了。”

“我感觉需要说清楚怎么数。”

……

肯定了学生的想法后和学生一起研读“行和列”的确定位置方法，再引导学生利用“行”和“列”的方式确定位置。

“你能读懂吗？”“你有没有想法或问题？”这样的要求对学生来说，既亲切又陌生，而且具有挑战性。三位同学的描述方式形成一组材料，同样的位置不同的描述方式刺激学生对确定位置的方法进行剖析，让学生从新的角度去观察它、研究它。学生的“描述”一开始可能是盲目的、无序的，但对比会让学生把直观的位置和抽象的描述方式在头脑中建立联系，使思维从无序走向有序。

简单的唤醒并不是引入活动的真正目的，让孩子渐渐从具体思维实现向抽象思维过渡来获取对“概念内涵的认识”，从而促进思维发展，这才是活动的真正内涵。

2.把知识发展作为资源，让思维逐步走向深入。

数学概念所代表的不是个别事物而是一类事物，所反映的不是事物的表面属性，而是本质属性。学生往往停留在解决这个具体的问题上，这就需要教师在设计概念学习活动时，把握好解决一个具体问题到发现一类问题的超级连接，以培养学生正确的数学思维方式。

“看一看自己两次描述小军的位置的方法，你想说一些什么呢？”

“第二种确定位置的方法更简洁、精确！”

……

“我们再看一看其他国家确定位置的方法。”

“看不懂”“我好像看明白了，他们都有3和2，意思应该就是说第3列第2行”……

“同学们能不能想一种简单准确的办法，让全球的人都能看懂小军的位置？”有学生选择用数字3、2确定位置，有学生数轴图确定位置，也有学生用数字和拼音首字母确定位置……“我觉得还要再统一！”“笛卡尔研究出了用数对确定位置！”“请用数对确定小军的位置！”

“看看自己三次确定小军位置的方法，你又有怎样的想法？”

上述过程中把知识发展作为资源，延长知识点发生与发展过程，让学生充分经历“非正式定义”的过程，不追求“统一化”“最佳化”（知识点理解与表达方式、问题的求解思路等方面），而是致力于“合理化”“精准化”和“简洁化”，使得学生对知识的真正理解（自主建构）和个性化发展成为可能。这样的学习活动潜在价值在于，使学生有机会感受：（1）存在多种成功解决问题的途径；（2）直观感悟到不同的方法产生于不同角度或想法；（3）自己的想法直接影響自己的选择倾向；（4）有时需要评价并调整自己的策略。小学生不可能通过少数几次活动就能有所领悟。

有研究表明，人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思活动。在上面的对话中，教师不满足对步骤的简单总结，而要求学生不断的反思与创造：对比自己的两次描述方法、对比国内外描述位置的方法，用简单准确的方法确定位置、对比自己三次确定位置的方法，你有什么想说的？最终，学生很可能会在小组讨论中模仿教师的提问技巧。这样，学生就学会怎样检测和反思他们在问题情境中的数学思维了。

整节课，教师抓住概念本质，通过创造支持性的课堂环境，为学生挑选合适的任务，细致实施这些任务，以及连续评估学生对于数学概念的理解情况，从而促进学生的思维走向深入。

【作者简介】

苏瑜，中学高级教师，江苏省第十一批小学数学特级教师、江苏省“333”高层次人才培养对象、常州市优秀教师、常州市教科研先进工作者、常州市“831”中青年科学技术人才、溧阳市第五批拔尖技术专业人才、溧阳市首批名师工作室领衔人。近10年，每一年都被“常州市名师大讲堂”邀请作专题培训。2014年被聘为江苏省“国培计划”授课专家。曾应邀到安徽、盐城、建湖、南京等省市上课或作学术报告，受到与会专家和老师们的好评。参与主编并出版《小学生发展性课堂学习活动设计》（四川教育出版社2008年9月出版），分别在《中国教师报》《上海教育科研》《中小学管理》《小学数学教师》《江苏教育研究》等教育报刊杂志上发表学术论文、科研报告40余篇。自2004年至今，一直主持学校主课题，多项科研成果获得省市级奖。

曾潇洁，溧阳市文化小学教师，苏瑜工作室成员。