追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉

李昌官



追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉

李昌官

（台州市教育局教研室，浙江 台州 318000）

直觉与逻辑的完美结合是数学发展与学生思维发展的根本之道．数学教育应追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉．即一方面应把正确直觉系统化、清晰化、逻辑化，并搞清楚错误直觉产生的原因；另一方面，应营造利于直觉产生的心理氛围，采用利于直觉形成的教学策略，还原、再现引领逻辑的直觉．此外，教师应引导学生在逻辑的基础上形成新的、更高层次的直觉．

直觉；逻辑；直觉背后的逻辑；引领逻辑的直觉

直觉与逻辑于数学发展和学生思维发展犹如车之两轮、鸟之两翼．正确处理直觉与逻辑的关系，使它们优势互补、相互促进、协调发展是数学教育面临的重大任务．

1 直觉与逻辑的关系

直觉是指未经充分逻辑推理的感性认识，它以已知获得的知识和累积的经验为依据[1]．逻辑是指思维的规律与规则．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题[2]．

1.1 直觉与逻辑具有不同的特点

直觉与逻辑是两种不同类型的思维，它们具有许多不同的特点．一是思维基础不同．直觉是从内隐的形象、感觉和经验出发，并以之为基础；逻辑是从外显的概念、命题、原理出发，并以之为基础．二是思维方式不同．直觉通常表现为直观想象、灵感与顿悟，它比较随意，不受概念和逻辑规划的约束；逻辑通常是基于概念与规则的推理，因而比较严谨、理性．三是表现形式不同．直觉往往具有突发性、偶然性和跳跃性，它以省略、简化、浓缩的方式洞察问题的本质；而逻辑通常具有必然性、连续性与完整性，它是以推演的方式判断命题的真伪．四是灵活程度不同．直觉灵活、多变，而逻辑具有程序性和确定性．五是功能价值不同．直觉往往用于探索、发现道路；逻辑往往用于沿着直觉探索得到的道路一步一步推进；直觉用于发明，逻辑用于证明；直觉用于构想一种科学体系，逻辑用于建立一种科学体系．六是清晰程度不同．直觉内隐性强，往往说不清、道不明，只能意会，难以言传；而逻辑有明确的前提和规则，利于以语言和书面的方式传播．

1.2 直觉是逻辑的先导而逻辑是直觉的护栏

直觉是逻辑的先导．苏联哲学家、科学史家、化学家凯德洛夫指出：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动．”[3]苏联著名物理学家福克（V. A. Fock）也指出：“伟大的，以及不仅是伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测得来的；换句话说，大都是凭创造性的直觉得来的．”[4]著名数学家、教育家王梓坤院士说得更加明确：“在实践中所体会到的直观形象有助于抓住本质，它常常是理论的先导，并为理论提供思路、模型与方法，严格的逻辑证明和计算有时无非是直觉的一种数学加工和精确化而已．”[5]直觉不仅先于逻辑，而且为逻辑提供目标与方向．或者说，逻辑的思路与方法、所要达到的目标都是直觉提供的．离开了直觉，逻辑寸步难行．直觉之所以成为逻辑的先导，既是因为它“在潜意识中寻找灵感，企图在互不相干的事物之间建立联系，更不受理智之条条框框制约”[6]；也是因为它“像勇敢的前卫骑兵，迅猛出击”，容易直插问题的核心[7]．“直觉总以超常的上乘口味影响理论研究，它以一种无形的方式评价、思考、创造，并哺育逻辑成长．直觉无与伦比的启发力，能够使人类从感觉、资料的一方，跨越理性深渊和逻辑障碍，到达概念、理论的彼岸．”[6]

逻辑是直觉的护栏．直觉源于观察，但“你能不能观察眼前的现象，取决于你运用什么样的理论，理论决定着你到底能够观察到什么”（爱因斯坦语）[8]．“直觉的可靠性是以坚实的学科知识为基础的，即直觉凭借对学科知识的熟悉来起作用．”[9]尽管直觉对逻辑的运用可能是无意识或潜意识的，但正确的直觉总是以一定的逻辑为基础．而错误的直觉或是由于其所依靠的经验是错误的，或是由于其背后所蕴含的逻辑是错误的．由于经验的错误本质上是逻辑的错误，因此错误的直觉本质上源于错误的逻辑．简而言之，直觉的背后蕴含着逻辑，它具有“潜逻辑性”；缺乏逻辑的直觉不仅没有价值，而且可能会起误导作用．

1.3 直觉和逻辑协同促进问题解决与学生思维发展

首先，数学思维的启动和解决问题思路的寻找依靠直觉．数学发展史表明：“那种创造发明的要素，那种起指导和推动作用的直观要素，虽然常常不能用简单的哲学公式来表述，但是它们却是任何数学成就的核心”[10]；“直觉比以往任何时候都更加成为数学发现的创造源泉”[11]；“直觉这个不可捉摸的生动的力量在创造性的数学中总是起作用，推动并指导着甚至最抽象的思维”[11]．人们是在经验的基础上形成直觉，再把直觉发展成为逻辑；直觉是沟通经验与逻辑的桥梁．

其次，决定直觉有效性的是逻辑．“直觉不能给我们以严格性，甚或不能给我们以确定性”[7]，它是“冒风险的、有争议和暂时的”，而逻辑则是“可靠的、无可置辩的和终决的”[12]．因此单纯依靠直觉并不能解决问题；数学问题的最终解决、数学结论的最后确认必须依靠逻辑．数学之所以受到特殊的尊重，之所以绝对可靠和无可争辩，是因为它是建立在逻辑的基础上．逻辑是数学这座“高楼大厦”坚不可摧的可靠保证，是数学神奇力量的源泉．

第三，直觉和逻辑协同促进数学问题解决．希尔伯特认为：“数学的源泉就在于思维与经验的反复出现的相互作用．”[13]爱因斯坦认为：“从特殊到一般的道路是直觉性的，而从一般到特殊的道路则是逻辑性的．”[14]法国数学家庞加勒（Poincare）对直觉与逻辑如何相互影响作了精练的概括：“人们证明正是用逻辑，人们发明正是用直觉……逻辑告诉我们走如此这般的道路保证不会遇到任何障碍；但是它没有说哪一条道路通向目标．为此，必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的官能是直觉．没有它，几何学家便会像这样的作家，他只是按语法作诗，但却毫无思想．”[15]因此逻辑主义以“逻辑”为核心刻画数学，直觉主义以“构造”“非逻辑思维”“数学美”等概念为核心认识数学，都具有一定的片面性[16]；直觉与逻辑的完美结合才是数学发展与问题解决的根本之道．

第四，直觉和逻辑协同促进学生思维发展．直觉与逻辑有各自的特点与功能．当逻辑难以施展和奏效时，需要直觉指明目标与方向；当直觉已经有初步的目标与方向后，又需要逻辑进一步核实、落实与推进．问题在直觉与逻辑的交替中解决，思维在直觉与逻辑的交互作用中发展．由于思维能力是各种不同的思维品质、直觉思维能力、逻辑思维能力等综合体现，因此数学教学应通过加强思维各要素的综合训练，最大限度地促进学生发展，应“积极寻找为逻辑指引方向的直觉和正确直觉背后所蕴含的逻辑”[17]，使直觉与逻辑在相互渗透、相互转化、相互促进的过程中，实现思维能力由量变到质变的飞跃．

2 追寻直觉背后的逻辑

追寻直觉背后的逻辑，使直觉逻辑化，既有可能，也有必要．因为这是学生“通过数学学会思维”[18]的重要途径与方式．

2.1 直觉背后蕴含着逻辑

直觉的产生具有很强的突发性与偶然性，但它不是凭空产生的，而是建立在经验的基础上，是经验积累和优化到一定程度后的“突变”或“顿悟”．实际上，许多看似自发产生的直觉都是长期有意识地思考与探索的间接结果．“直觉思维是以对所学知识领域及其结构的熟悉为基础的，这样才能使思考者思维跳跃，省略步骤，走捷径．”[9]直觉思维过程就是直觉空间对知识空间不断进行重建的过程．这里的知识空间是指已经获得的和系统化了的知识，它以静态的方式存在；直觉空间以一种心理图像的方式显现出来，它是动态的[6]．或者说，灵感、顿悟等直觉的产生需要一定的前提、基础与条件．尽管这些前提、基础与条件因人、因境、因事而异，并且人们可能还不是很了解，但它们一定存在．因此直觉背后或多或少、或明或暗地蕴含着逻辑．

2.2 尽可能把正确直觉“系统化”“清晰化”“逻辑化”

既然直觉对问题解决、发明与创新来说十分重要，那应通过创设一定的条件和环境，让这些具有突发性、偶然性直觉的产生变得更加自然、更加容易．直觉思维是逻辑思维的凝练与浓缩，还原、寻找直觉背后的逻辑对学生思维发展十分重要．“必须对直觉思维的过程作慢镜头的解剖，找出（或复原）被它简约了的环节，也就是说要为直觉的产生铺设一条逻辑的道路．”[19]“只有把数学直觉思维看成是逻辑性思维，才可能有意识地加以培养．”[20]

鉴于直觉具有跳跃性、模糊性和“潜逻辑性”，为了追寻直觉背后的逻辑，应尽最大可能把直觉补充、完善成为具有系统性、连续性、清晰性的逻辑链条．下面以椭圆几何特征的发现为例说明这一点．椭圆的焦点与定长的发现是个难点，这个难点是通过直觉思维突破的．为了使之成为发展学生思维的有效载体，现对这个直觉思维过程作如下逻辑化处理．

直觉产生的心理基础：一是强烈的探究欲望，迫切希望搞清楚椭圆的几何特征；二是比较强烈的大胆猜想和批判质疑意识．

直觉产生的经验基础：一是圆的几何特征，即圆是平面内到定点距离等于定长的点的轨迹．二是圆与椭圆相互联系、相互转化的生活经验，如当盛着一定量的水的圆柱形水杯直立放置时，水平面是圆；当它倾斜时，水平面是椭圆．阳光下，球在地面的投影通常是椭圆．三是对椭圆的几何特征已经有相当长一段时间的思考与探索．

直觉背后的观念信念：函数的连续性是刻画事物变化连续性的数学模型．它表明：当自变量的变化很小时，所引起的应变量的变化也很小．由于圆到椭圆的变化具有连续性，因此当圆作微小变化成为椭圆时，圆的圆心与半径不可能突然彻底消失，而只能发生微小的变化．

直觉背后的思维方法：一是从事物产生的源头及其相互联系入手，即从椭圆是怎样产生的，以及椭圆与圆的联系入手．二是从事物的构成要素入手．由圆有两个要素——定点圆心与定长半径，猜想椭圆也有类似的定点和定长．三是从事物的发展轨迹入手，即在圆变成椭圆的过程中，它们的相关要素会发生怎样的变化．由圆可以看作是椭圆的特殊情况，猜想：圆的圆心与半径是椭圆相应“定点”与“定长”的特殊情况，并且椭圆的“定点”与“定长”是由圆的定点与定长演变而成的．

探索过程的灵感顿悟：圆柱形水杯中的水平面由圆变成椭圆时，由于难以发现圆心和半径变化的轨迹，因而思维受阻．但机遇总是给有准备的人．球在与地面垂直的阳光照射下的投影是圆，此时球与地面的切点是圆心；在与地面斜交的阳光照射下的投影是椭圆，并且这个切点随着光线与地面所成角的减小逐渐偏离原来的圆心（如图1）．受此启发，突然顿悟：球与地面的切点很可能就是类似圆的圆心的椭圆定点；同时由椭圆的对称性猜测椭圆还有另一个定点（如图2）；由圆是到定点距离等于定长的点的轨迹，猜测椭圆上的点到两定点的距离之和为定长．

探索结果的逻辑证明：把照射球的太阳光数学化为外切于球的圆柱，把地面数学化为与球相切的平面（如图1）．由球的切线的性质可知，＝，＝，故=+=（如图3），由此证明了具有猜想性质的顿悟．

图1

图2

图3

追寻直觉背后的逻辑的关键是从直觉的产生过程与心理机制入手，搞清楚思维是怎样突然“开窍”的，搞清楚“开窍”的原因与依据．这种追寻的实质是寻找偶然背后的必然，是使偶然、突然、很难想到的东西变得更加容易想到，是把碎片化、说不清、道不明的直觉系统化、清晰化、逻辑化．因此它是学生学会数学地、理性地、有条理地思考问题的极好素材，是他们形成专业“嗅觉”和提升他们直觉可靠性的有效途径．在这样的过程中，学生能充分享受追根究底、探求事物本源的思维乐趣．

2.3 尽可能搞清楚错误直觉产生的原因

直觉有“功”也有“过”．搞清楚错误直觉产生的原因，既可以避免再次犯类似的错误，也可以提高学生的直觉思维与逻辑思维水平．由于错误直觉的种类繁多，且产生原因各不相同，因此这里不讨论通常所说的“错觉”（即人们观察物体时，由于受到形、光、色的干扰，加上人们的生理、心理等原因，会产生与实际不符的视觉误差），而只从认知视角探讨其他数学错误直觉产生的原因．

原因一：已有相关经验的局限性．直觉以已有的知识和经验为基础，因此相关知识与经验的局限性是错误直觉的主要源头．感觉整数的个数比偶数的个数多、一条直线点的个数比1 cm长的线段上点的个数多，主要源于“整体大于局部”的生活经验．假如能把一张普通的纸对折30次，感觉其厚度不会超过喜马拉雅山的高度，是因为学生只有线性增长、二次函数增长等数学经验而缺乏指数函数爆炸式增长的数学经验．由于经验总是基于特定的具体情境形成与产生的，因此经验难免有一定的局限性，而这种局限性极有可能诱发错误直觉．

原因二：生活问题与生活经验的误导．记得有一次担任全国高中数学优秀课评比的评委，连续听了4节不同教师执教的随机抽样方面的课，发现教师和学生都把为了调查方便而进行的“任意抽样”作为数学意义上的“随机抽样”，把代表性不强的“方便样本”作为“随机样本”．与此相类似，学生经常把生活意义上的随机事件作为数学意义上的随机事件，把生活意义上的平移作为数学意义上的平移，而没有意识到生活中不存在数学，只存在数学概念和原理的原型；没有意识到“只要数学的命题涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”[14]．

原因四：不当的心理暗示或思维定势．连续4次掷一枚硬币，认为“如果前3次都正面朝上，那么第4次正面朝上的可能性不大”是源于掷硬币连续4次都正面朝上的可能性不大的心理暗示．认为“试验次数越多，频率越来越接近概率”主要源于用确定性思维思考问题的思维定势．

布鲁纳曾指出：“直觉的方式常常会产生错误的答案，这就需要一位敏感的教师将直觉的错误——有趣的跳跃——同愚蠢或无知的错误区别开来，同时要求教师能适时地对运用直觉思维的学生予以赞同或予以纠正．”[9]因此分析、寻找学生直觉错误的原因，并消除这些错误产生的源头是数学教学的重要任务．需要注意的是：许多直觉错误的源头表面上看是经验错误，实质上是逻辑错误．如前面提到的认为整数的个数比偶数的个数多，表面上是源于整体大于局部的生活经验，实质上是对逻辑——“数量相等的本质是两者之间能够建立一一对应”缺乏认识．

3 追寻并再现引领逻辑的直觉

在教给学生更传统、更正式的演绎和证明方式之前，培养他们对材料的直觉才是首要任务[9]．数学教学应追寻、再现引领逻辑的直觉．

3.1 营造利于直觉产生的心理氛围

直觉是情感与理智交融的结果，数学教学应营造利于直觉产生的心理氛围．这种氛围应满足如下4个条件：①学生有强烈的探究欲望．因为“问题的一个基本要素就是解它的愿望、干劲和决心……除非你有十分强烈的愿望，否则要解出一个真正的难题可能性是很小的”[21]．②学生在学习过程中有愉悦感和成就感．诚如苏霍姆林斯基所说：“所谓课上得有趣，这就是说：让学生带着一种高涨的、激动的情绪从事学习和思考，对面前展示的真理感到惊奇甚至震惊；学生在学习中意识和感觉到自己智慧的力量，体验到创造的欢乐，为人的智慧和意志的伟大而感到骄傲．”[22]③明确活动的目标指向或实际意义．“在开始学习任何新的经验时，应当着重于儿童已经熟悉了的东西，如果可能的话，应把新的课题和原则与某些活动所追求的目的结合起来．”[23]④学生具有心理自由与心理安全．自由与安全的心理环境有助于学生创造力的发挥；反之，学生的思维必然处于压抑状态，难以发挥他的正常水平．

3.2 采用利于直觉产生的教学策略

为了有效地培养学生的数学直觉，有学者提出应优化认知结构、创设直觉思维场情境、训练直觉思维方法、开发元直觉思维等[24]；也有学者提出应培养学生的数学兴趣、让学生真正理解数学、开设数学文化课程等[25]．其实，比这些更重要、更本质的应是遵循直觉产生的心理机制，采用利于直觉产生的教学策略，并尽可能让学生理解直觉形成的基本过程与方法，掌握利于直觉产生的学习策略与“凭直觉领悟一般真理的艺术”[26]．因为研究表明：高效率数学学习学生的元认知策略比较突出；学习策略与数学学业水平呈显著正相关[27]．

3.2.1 加强观察和实验

皮亚杰把儿童的思维发展分为4个阶段：感知运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段和形式运演阶段．布鲁纳认为，儿童的认知发展由行为把握、图像把握、符号把握3个阶段组成．直觉思维也类似．它是在观察与实验的基础上形成的．“直觉并不是对外部永恒存在的事物的直接感觉，它是具体事物（后来是纸上的记号甚至内心的想象）的活动和操作的某些经验在头脑中产生的影响．”[28]观察与实验是学生形成数学直觉的第一步．因此数学教学应“将思维建立在直接的观察上”[26]，让学生从“从观察出发积累最正确的经验”[29]；应让学生亲自动手，以便他们获得的知识富有现实感，他们的才能富有活力，他们的思维栩栩如生[26]．

3.2.2 加强比较与联想及想象

仅有观察决不会产生直觉，只有把观察与已有的知识和经验进行比较时，才可能产生直觉．联想是由某人或某物想起其他相关的人或物的心理过程．没有联想，人们很难发现数学概念与概念、原理与原理、结构与结构之间的相同点与不同点，很难发现概念、原理之间的联系，因而也很难产生直觉．想象是指人在客观事物的作用下，借助言语，把头脑中已有的表象经过组合和改造而产生新的表象的心理过程．没有想象，人们很难理解高度抽象的数学概念、原理和结构，也就很难产生理性色彩浓厚的数学直觉．借助想象，“事实不再是赤裸裸的事实，它被赋予了各种可能性；也不再是记忆的负担：它像诗人一样活跃我们的想象，像建筑一样构筑我们的目标”[26]．数学中的点、线、面，直与曲的统一、有限与无限的统一，都不是单纯地、机械地从经验事实中总结出来的，而是经验事实基础上的思维直觉与心灵的自由创造．因此数学教育应让学生“用充满想象力的方式获取知识”[26]．

3.2.3 加强对事物的综合感知和整体感知

直觉意味着与详细或分析相对立的笼统或综合[28]．直觉思维与逻辑思维相比的一个突出特点与优势是它的综合性与整体性．直觉往往直接地从整体上感知研究对象，感知研究对象各要素、各部分之间的联系．相应地，数学教学应处理好整体与局部、综合与分解的关系，按“整体—局部—整体”的方式组织学习与探究，即应在初步感受整体、认识“森林”的基础上，认识“树木”，然后又“借助于树木来认识森林”[26]．应强化学生对数学结构、数学联系、数学本质、数学思维的感知与感悟，并形成相应的数学直觉．应通过综合感知、整体感知，使学生“对隐藏于数学对象深层的数学事物关系间的和谐性与规律性有深切感受，对隐藏于数学知识间的逻辑脉络和演绎方式有深切感受”[30]，进而形成生动、鲜活的数学直觉．

3.2.4 加强对数学美的感悟和以美启真

数学直觉在很大程度上是只可意会不可言传的心灵感受，它往往在无意识或潜意识的状态下进行，冥冥之中起作用的是数学美，是数学美在引领数学直觉的形成与发展．数学美具有雅致、和谐、对称、平衡、有序、统一、简单性、思维经济等特点，这些特点中最本质、最核心的是和谐[31]．“世界的普遍和谐是众美之源”；“内部和谐是唯一真实的客观实在”；“和谐的最好表达方式是定律”[7]．数学美既能满足人们审美的需要，又是支持和指导心智的助手．它对数学思维与数学创造起着微妙的筛选作用[15]．数学教学应一方面让学生充分感受数学美、欣赏数学美，尤其是数学的和谐美、统一美、结构美；另一方面，应充分发挥数学美作为真理的光辉、真理的向导的激励功能与启真功能，用数学美来启发和帮助学生形成有意义、有价值的数学直觉．

3.2.5 借助典型案例强化直觉教学

好的教学不是教数学，而是激励、指导学生自己去学数学，是指导和促进学生“用内心的创造与体验的方法来学习数学”[32]．数学概念和问题解决应“不是形式地（熟记定义）而是直觉地讲授”[28]；应借助典型案例，加强直觉思维示范教学，因为“如果学生从来没有见过他们的长辈们有效地使用直觉思维的方式，那他们几乎不可能或没有信心来培养自己的直觉思维”[9]．因此教师应该讲授自己如何观察、思考，讲授自己对问题的直观感受，讲授自己思考的缘由与过程．例如，对问题：设(≥2)个正整数1，2，…，x，满足1+2+…+x=12…x，求x的最大值．教师应直觉地分析：①由于1+2+…+x与12…x都是对称多项式，因此要使x尽可能地大，必有x≥x(=1, 2,…,-1)．②由于1，2，…，x都是正整数，因此要使x取最大值，那么1，2，…，x－1都应尽可能地小，即最好是1＝2＝…＝x－1＝1，但由已知，这样就有-1+x=x，而这不可能．③退而求其次，1，2，…，x－1中有1个数为2，其余数均为1．此时x＝．这样地分析与求解，与“逻辑地分析和求解”相比，既简单，又能让学生更好地感受直觉、学习直觉．

3.3 还原并再现引领逻辑的直觉

由于教材呈现的通常是结论性的数学知识，是作为逻辑思维结果的知识，因此数学教学应还原、再现引领逻辑的直觉，努力填平学生已有数学活动经验与数学逻辑之间的鸿沟．尽管我们无法还原数学家发现、创造时的直觉，尽管相同的逻辑可用不同的直觉来引领，但这种追溯、还原对学生思维的发展仍然极有意义和价值．在这样的追溯、还原过程中，学生可以强烈地感受到逻辑是怎样一步一步练成的．

3.3.1 案例一：弧度制

现行不同版本的高中数学教材都是直接给出弧度制的概念，但学生不清楚有了角度制为什么还要引入弧度制，不清楚弧度制是怎样产生的．从教学视角看，应搞清楚引领弧度制建立的数学直觉有哪些．追溯弧度制建立的过程，下列直觉思维也许是不可或缺的．

直觉思维三：怎样弥补这个缺陷？应采用相同的度量单位、相同的进位制．考虑到用角度制度量角的函数值不大可能，因此只能以圆的半径为单位来度量角的大小．

直觉思维四：用圆的半径来度量角的大小，可能吗？科学吗？合理吗？经探索、检验，不难发现：其可能性、科学性、合理性都不成问题．

直觉思维五：新的度量方式有什么优点或优势？不难发现：它不但有效避免了角度制的缺陷，而且使弧长公式、扇形面积公式变得更加简单．其他优势目前还不清楚，谁能知道刚出生的孩子长大后会有什么贡献呢？

正是在上述直觉思考的基础上，数学家根据数学知识内在的逻辑法则建立了弧度和弧度制两个概念．由上可知，看似天上突然掉下的“林妹妹”其实是水到渠成、自然产生的．

3.3.2 案例二：等比数列前项和公式的推导

直觉思维一：目标是思维的动力与方向．等比数列前项和公式推导的目标是什么？是用首项、公比等尽可能少的已知项或值来表示．

直觉思维二：等比数列前项和公式推导的思维出发点或依据是什么？等差数列前项和公式推导用的是倒序相加法，其思维依据是利用等差数列内在的性质，化数值不同项的和为数值相同项的和．等比数列前项和公式的推导思路与方法也应从其自身的特点和性质中寻找．

直觉思维五：如果只从“数”的角度思考找不到突破口，能否借助“形”？等差数列有很好的几何模型，等比数列有相应的几何模型吗？有，分形．分形有怎样的特点？能给等比数列前项和公式的推导以启示吗？仔细观察分形，发现其最大的特点是“自相似”，是按定比放大或缩小，并且分形“连续的个部分的和”之间也具有“自相似”的性质．由

可得

，()．

即

观察知，这两个等式右边有-1项完全相同，可以通过两式相减消去相同项．

4 在逻辑基础上形成新的更高层次的直觉

4.1 数学教学应使学生达到直觉水平

“养成习惯去积极地利用已经透彻理解的原理，才是真正的拥有智慧．”[26]“只有做到直观上懂才算是‘真懂’．所谓‘真懂’的意思是指：对数学的理论、方法或定理能洞察其直观背景，并且看清楚它是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的．”[33]当学生把数学知识的背景、来龙去脉、结构与本质搞得清清楚楚、明明白白，并将其变得非常直观、形象时，他便达到了直觉水平；数学教学应该努力使得学生达到直觉水平．为了使学生达到直觉水平，数学教学应提高认知维度与认知过程维度，尽可能让学生学到有根的、活的、充满智慧与创造、富有营养的知识[34]；应揭示知识产生的背景，揭示知识的形成过程与方法；应善于从具体素材中提炼出一般的、本质的东西；应抓住其中的关键性问题及其解决的思路与方法；应让学生通过咀嚼、消化、感悟、联想，把抽象的数学知识与方法变得直观、形象、生动；应让学生“逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”[35]．

4.2 数学直觉应上升到信仰与精神层面

数学直觉是一种感觉、一种信念，是一种建立在理性基础之上的直观，是对数学知识内在的规律性与统一性的心理感受，是一个人数学素养的集中体现．如，通过前面椭圆几何特征的发现、弧度制的建立、等比数列前项和公式的推导，可形成如下信念：①解决问题的思路与方法永远蕴含在问题之中，应在问题内部、基于问题本身的特点寻找问题解决思路与方法；②应从数与形、变化、联系等视角寻找问题解决思路与方法；③总存在一种有序、有理有据地解决数学问题的逻辑之道；④“世界在本质上是有秩序的和可认识的”[14]．这些信念、精神层面的直觉又将产生更多、更好的直觉与逻辑，并成为学生从事“一切科学工作的基础”[14]．

5 结语

尽管直觉逻辑化、逻辑直觉化不可能完全实现，但部分实现也非常有意义、有价值．应积极探索直觉逻辑化与逻辑直觉化的策略、途径与方式，使直觉与逻辑在更高水平上相互交融、相互促进、螺旋上升．

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Pursuit of the Logic Underlying Intuition and the Intuition Guiding Logic

LI Chang-guan

(TeachingResearch Section of Taizhou Education Bureau, Zhejiang Taizhou 318000, China)

A perfect combination of intuition and logic was essential for the development of mathematics and student’s mindset. Mathematics education should pursue the logic underlying intuition and the intuition guiding logic. On the one hand, the correct intuition should be systemized, clarified and logicalized and the how the incorrect intuition was generated should be ascertained. On the other hand, we should foster the psychological atmosphere that stimulates of intuition, adopt education strategy that facilitates intuition and reproduce the intuition that guided the logic. Furthermore, new intuitions of higher level could be achieved based on the logic.

intuition; logic; the logic underlying intuition; the intuition guiding logic

[责任编校：周学智]

2018–03–07

浙江省教研课题——高中数学研究型教学实践与探索（10455）

李昌官（1964—），男，浙江临海人，正高级教师，博士，教育部国培专家，主要从事中学数学课程与教学研究．

G40–02

A

1004–9894（2018）04–0076–06

李昌官．追寻直觉背后的逻辑与引领逻辑的直觉[J]．数学教育学报，2018，27（4）：76-81．