教育数学在行动：“一线串”思想在大学数学教学中的应用

刘创业，代晋军，徐章韬，彭双阶



教育数学在行动：“一线串”思想在大学数学教学中的应用

刘创业，代晋军，徐章韬，彭双阶

（华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079）

通过一系列具体的案例，在大学数学课堂教学落实“一线串”思想，打通分析、几何、代数之间的关联．这种做法有效地发展了师范生的专业知识和能力．把这种具体的做法上升为一种机制，就需要大力发展大学数学教育研究，拓展数学教育的研究领域，促进数学教育的学科发展．

大学数学教学；教育数学；师范生

1 引言

“理解数学，理解学生，理解教学”是教好数学的重要前提[1]．各种关于教师知识的研究都指出，在职教师或师范生并没有很好地理解数学，导致了他们的教学知识水平不尽如人意[2-3]．那么，在大学数学课堂上，究竟应该教什么才能为切实提高未来教师驾驭课堂教学的能力而提供良好的基础？这是一个根本性的问题．把握数学本质是一切教学法的根，一线教师最欠缺的正是对数学学科本质的把握[4]．不仅要关注怎么教，更要关注教什么．教学内容确定了，然后在此基础上选择合适的教学方法，内容与形式辩证统一，才能提高教学效率．从课程结构上看，分析、代数、几何是大学数学的三大主干课程，分析的课堂上只讲分析，代数的课堂上只讲代数，几何的课堂全是几何，学科间交叉融合的理念与具体做法完全不见，不能算作是高水平的课堂教学，其教育价值极其有限．如，在分析的课堂能精彩地讲述分析的精神固然是好，但若同时能带点代数、几何的风味，这就不是一种扁平式的教学了．虽然学生学习了不同的课程，但有时难于将它们打通，教师有责任帮助学生把所学知识融会贯通，比较各种观点之间的高下差别，发展他们对数学的理解．这是大学数学教育的使命所在．“一线串”是教育数学处理课程的一种卓有成效的做法，应用这种思想，在大学数学课堂教学中应把分析、代数、几何的思想和方法有机地串联起来，为提高师范生的学科知识打下坚实的基础．采撷课堂教学中曾经用到的具体的案例以阐述这种做法，并阐释其教育意义．

2 案例

大学数学与初等数学之间的差别十分明显，若能让师范生看到初等数学的走向及大学数学的根源所在，关联纵横，将十分有助于师范生对数学的理解．

初等数学课程中加入向量是课程改革成功的一笔，向量还有很多教育价值．向量是连接代数、几何的一座桥梁，以向量为切入点，可以沟通初、高等数学，还能把分析、代数、几何的思想一线串通．

案例1 看到知识的发展性：从向量消元法到逆矩阵法解方程

初学线性代数的师范生，不明白为何矩阵就成了线性代数中最重要的工具和概念了，更不用说形成一种直观，这从根本上影响了他们对线性代数的学习．

（*）式其实还是平面向量基本定理，对二维平面内的一个向量，总可以表示成两个基向量的线性组合．由此，一般的矩阵方程揭示的几何意义是对给定维数的空间中的任一向量，能否表示成基向量的线性组合．

这样处理，从初中经高中到大学，师范生看到的是数学的内在连贯性以及认识视角的变迁．这些正是数学学科发展的根本动力所在．

案例2 把基本工具用得娴熟：阿贝尔变换公式

行列式、矩阵是线性代数的基本工具，应用得十分娴熟，得心应手．

张景中院士曾对数学分析中的阿贝尔变换公式做过十分精彩的讲解．阿贝尔变换公式是：

这个公式其实是一个“面积”公式．考察时的特例，如图1所示．

行列式是面积、体积的推广，可从行列式、矩阵等角度对其重新认识．

行列式方法：

把（*），（**）和（***）竖着加起来就有：

也可从矩阵迹的角度考虑．

应从研究工具的高度认识行列式、矩阵，而不应该把它们当作一个纯粹的知识．

案例3 直观地认识基本工具：微分中值定理

看到行列式的几何原型是面积，看到面积、体积的发展是测度，对于教学来说是一件意味深长的事．

案例4 两大基本工具的融合：极限与矩阵

没有矩阵就没有代数，没有极限，就没有分析．

特征多项式是刻画矩阵性质的重要工具，同时也是分析中的重要研究对象．围绕特征多项式可以沟通代数与分析．

可以用代数的方法证明．

也可用分析的方法证明．

如果用非奇异矩阵来逼近奇异矩阵，就能用分析的方法处理代数问题了．

极限与矩阵当作基本语言来学习，并要能看到它们之间的内在联系．

案例5 看到多样性：从配方法到二次型

把一个具体的二次型化成平方和的方法，就是“配方法”．有关二次型的问题，可以处理出多种风味来．

用多种方法处理同一问题，看到的是各种工具的效力，发展的是数学的眼光．对师范生而言，这种数学上的眼光更具有教育价值．

案例6 看到思想迁移性：从投影到特征向量

矩阵既可以看作是一个线性变换，也可以认为是一个空间．若看作是一个线性变换，就要研究哪些向量在矩阵的作用下是不变的，这就是线性变换矩阵的特征向量；如果把矩阵看作空间就要探查空间的性质．如同通过投影、二视图和三视图之类的方法来认识空间物体一样，在认识矩阵空间的性质时，也要把矩阵投影到某一向量上去，通过这个向量来认识矩阵空间的性质．这些问题都引发对特征向量的研究．

如，师范生对等差、等比数列都很熟悉，供助上述认识重新处理等差、等比数列，就会对矩阵的思想想法更加了解．

师范生在学习这个知识点时，很难弄清楚其研究动机，自然就不知道其应用价值．通过和已有知识的关联，师范生看到了认识方式、思想的巨大威力．

案例7 看到复杂背后的简单：从向量点乘到施密特正交化

两向量正交就是两个向量互相垂直，其内积为零．只有两个以上的向量才谈得上正交．正交化的过程，可以看作是一组向量正交分解的过程．

这个案例揭示了数学的简单之美、叠加之威．在学习方法上的启示上，从简单出发，从特例出发，以简驭繁．

案例8 挖掘基础课的潜在教育价值：向量矢量积

经过这样处理，通过三阶行列式看到混合积的几何意义是体积；混合积是对偶思想的运用，为了分析矢量积，引入它的线性泛函．齐民友先生曾言，基础课是通向数学主流的门户[5]．在林群院士眼中，泛函空间与平面几何空间无异．没有理由不重视基础课的教学．

案例9 直观和运算

没有直观，看不远；没有运算，走不到．直观是一种洞见，运算不止于能力，更是一种计算思维．

格林公式：

斯托克斯公式：

仅示意性地说明一个．

奥高公式：

事实上这些都可统一成Stokes公式．这里的处理法有点类似于外微分的做法．秉持这个基本想法，也很容易得到复变函数解析的柯西—黎曼方程．

学习数学，要理解公式背后的含义，做到正逆推导自如，公式定理就像长在自己的心田里，就算学通了．通过这组重要积分公式的示意性地推导，初步领略了数学内在的和谐性．

案例10 看到确定性数学和随机性数学之间的关联：线性回归方程的推导

线性代数的方法：

确定性数学和随机性数学是数学的两大分枝．在学习时，千万不能思维固化，认为两者之间是风马牛不相及，架两者的沟通的之桥，看到的是关联，是内在和谐性．这会触及师范生数学观念的变化．

3 分析与讨论

在课堂教学实践中，践行“分析—代数—几何”课程“一线串通”的想法，受到了师范生的欢迎．很多师范生反映，这些做法开阔了他们的眼界，原来大学数学也可以这样来学习．在“双一流”背景下，师范院校该如何培养未来教师，夯实他们的专业基础，引发了研究者的思考．师德是教师培养之本，专业知识是基础，教育教学能力是关键．师德培养是个综合、系统工程，要不断地探索；下面的讨论着重于专业知识和教育教学能力的培养．

在“双一流”背景下，数学教育应当更有作为．在“双一流”背景下，数学教育应参与到一流数学学科的建设中去．数学教育研究不但要在研究方法上进行创新，采用大数据的方法进行量化研究，得出基于数据的结论；也要在研究领域上进行拓展，大力开展大学数学教育研究，改变数学教育研究队伍方向的结构构成，拓展数学教育的研究内容．大学数学教育方向的兴起，能团结更多的专业数学家参与到数学教育研究中来，进一步提升数学教育的专业性、学术性．事实上，凡是做得好的数学大家，都是十分支持数学教育发展的．大学数学教育研究与大学数学教学紧密相关，与高校数学教师的本职工作息息相关，定能吸引更多的高校教师参与到数学教育研究中来，改变数学教育研究队伍的结构构成，丰富数学教育的研究内涵．数学教育与数学学科紧密关联之后，能借力数学一流学科建设之势，与时俱进，获得新发展．

大力开展大学数学教育研究，帮助数学师范生打好扎实的专业知识基础，明确职前数学教师教育的使命．优秀教师固然是在长期的课堂教学中打磨而成，但作为底层长期支持的学科素养却是在大学课堂中获得的．职前教师教育和职后教师教育应各有侧重点．有人期望师范院校刚毕业的师范生，一上讲台就能挥洒自如，然而这并不是实然状况，于是人们就大力指责职前教师教育存在诸多不足，提出要加强师范的实践技能训练．受这种思维方式的影响，不少学校在招聘师范生时，就要求师范生首先会解一套高考试题，能讲好一堂课．这当然不过分．受这种招聘模式的影响，不少师范生不安心学习数学专业课程、教育教学理论课程，成天“刷题”，盲目实践，这固然能提高应聘的成功率，但影响了师范生的可持续长远发展．由于诸多原因，师范生的学习动力不足，专业知识学得零零碎碎，这从根本上影响了教师的专业发展．所以非常有必要强调师范院校的“师范性”，让师范生受到数学的思想、方法和思维方式的训练．很难想象，一个从没有享受过、欣赏过数学内在和谐性的师范生能在以后的工作岗位上，把数学讲得条理清晰、平易近人．在大学课堂教学中，应讲推动知识产生的问题，解决问题过程中的种种艰难抉择，讲知识背后的思想，讲知识间的内在关联，让师范生练好“内功”．练好“内功”之后，解题不过是一种拳脚末技而矣．师范院校的“师范性”不仅应体现在其有强大的学科教育，还应体现在其专业课程的讲授也是有教育取向的，为培养师范生而服务的．这种“师范性”与“学术性”相矛盾，高校教师一样地可以在各自的研究领域发表“高大上”的研究作品．其实，“师范性”与“学术性”并不矛盾，关键是学科评价机制．

大学数学教育研究方向的兴起，是教育学深入学科的体现．教育学、心理学都十分关心学科教育，但教育学、心理学与学科的整合一直是难事，一直都没有做好．在这种背景之下，学科教育的处境十分尴尬．在教育学、心理学看来，学科教育学术性不强；在数学看来，学科教育学科性不强．为了迎合教育学、心理学的学术标准，去学科的学科教育产生了；但同时也引发了另外的问题，学科教育本来以应用为取向，学科性的丧失意味着对实践指导乏力．鉴于种种情况，张景中院士率先提出“信息技术要深入学科”，极大地推动了基础教育的信息化进程，也引发了学界的认同，姚姿如等基于对西方教育信息技术知识研究的回溯，指出要将普适化的教育技术知识改造为关注具体学科内容和教学方法的“学科化”的教育信息技术知识[6]．与此类似，教育数学则主张要在吃透学科本质的基础上产生教育教学上的见解．教育数学在中小学实践中，特别是在初中，取得了极大的成功[7-8]．随着内容复杂度的提升，把内容当作一个可以忽略变量的研究范式日益受到质询，深入学科的主张正在引起人们的注意，不少教育学的期刊现在也愿意刊发这方面的作品了[9]．学科教育与学科真正融为一体之后，数学教育成为数学的二级学科，不再是名义上的事了，而是顺理成章．这将极大地促进数学教育的学科发展．

4 结语

师范大学是培养教师的源头，源头水清了，教师专业的可持续发展就有了坚实的基础．上面仅仅讲述了如何在大学数学教育中夯实师范生的专业知识和能力，如何用学科特有的魅力、数学家的人格风范来塑造师范生的德行、个性品质却需要进一步的探索．

[1] 章建跃．理解数学是教好数学的前提[J]．数学通报，2015，54（1）：61-63．

[2] 柳笛．美国数学教师学科内容知识的研究述评[J]．数学教育学报，2010，19（6）：74-78．

[3] 刘琳娜．把数学学科本质实现高效课堂教学[J]．数学教育学报，2015，24（5）：71-73．

[4] 刘加霞．把握数学本质是一切教学法的根[J]．小学教学（数学版），2007（8）：48-49．

[5] 齐民友．数学基础课是通向数学主流的门户[J]．高等数学研究，2009（12）：7-13．

[6] 姚姿如，王以宁．教育技术知识的学科化研究[J]．课程·教材·教法，2013，33（12）：106-110．

[7] 朱华伟，徐章韬．教育数学：缘起、旨趣、现状和意蕴[J]．数学教育学报，2015，24（4）：30-32．

[8] 朱华伟，徐章韬．教育数学的行动：寻找初中数学课程的焦点[J]．课程·教材·教法，2016，36（9）：58-62．

[9] 徐章韬．指向深度学习：根植学科的数学学习理论[J]．中国教育学刊，2017（7）：48-52．

Educational Mathematics in Action: the Application “A Line Linkage” in the University Mathematics Teaching

LIU Chuang-ye, DAI Jin-jun, XU Zhang-tao, PENG Shuang-jie

(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhai 430079, China)

By a series of specific cases, the idea of “a line linkage” was put into classroom teaching, bridging the relations among mathematics analysis, advanced algebra and geometry. This approach effectively developed the students’ professional knowledge and ability. The specific practices was leveled to a mechanism as if the university mathematics education research was fully developed. The research field of mathematics education was expanded and the development of the discipline of mathematics education was promoted.

university mathematics teaching; educational mathematics; pre-service teacher

[责任编校：周学智]

2018–03–19

华中师范大学教学研究项目——教育信息化条件下大学公共数学教学的综合改革（201635）

刘创业（1981—），男，湖南衡阳人，博士，主要从事偏微分方程的研究和教学．彭双阶为本文通讯作者．

G642.0

A

1004–9894（2018）04–0082–06

刘创业，代晋军，徐章韬，等．教育数学在行动：“一线串”思想在大学数学教学中的应用[J]．数学教育学报，2018，27（4）：82-87．