刚体转动惯量综合演示仪在教学上的应用

杨振清 宋 顶 林春丹 周广刚 张万松

(中国石油大学(北京) 1理学院； 2 机械与储运工程学院，北京 102200)

转动惯量是反映刚体绕轴转动时惯性量度的重要物理量，在工程、工业等领域都有广泛的应用。大学物理中刚体转动惯量部分是教学重点也是教学难点[1,2]。目前转动惯量演示实验主要是外形相同质量分布不同的圆柱体在斜面上滚动快慢来研究转动惯量对滚动速度的影响，因其形状单一，难以进行定量分析。为此我们设计了能够演示并定量比较典型形状包括薄圆筒、圆柱体、薄球壳、实心球体在斜面上滚动快慢的转动惯量综合演示仪，同时能够测量杆状刚体的转轴位置变化引起杆状刚体转动速度变化,从而有助于学生理解刚体转轴位置变化会导致转动惯量大小变化的平行轴定理[3-6]。通过该装置的演示加强学生对转动惯量的理解。

1 装置的组成结构及原理

1.1 刚体转动惯量演示仪的组成

实验装置结构如图1所示，主要由斜面基座、竖直基座、光电计时器组成。竖直基座用于观察杆状刚体绕轴转动情况。转轴用于固定杆状刚体，绕在滑轮上的绳索设有挡光片且其自由端连接重锤，滑轮在重锤的作用下转动，挡光片在下降过程中依次经过光电门A1和光电门A2，使光电计时器A随之启动计时和停止计时并显示下落时间。斜面基座用于观察刚体在斜面滚动的快慢。刚体初时被第一挡刚体板固定在斜面顶部，当向上抬起挡刚体板的瞬间，第一挡光门杆通过光电门B1，使光电计时器B开始计时，刚体开始沿斜面滚落；随着刚体滚落至下面，第二挡光门杆转动后通过第二光电门B2时停止计时,光电计时器B显示刚体滚动时间。滚动斜面的底端设有制动挡板,以防止刚体滚出斜面基座外。

图2是制作完成的刚体转动惯量综合演示仪实物图，光电计时器A 和B的计时单位可以分别调整为秒或毫秒。杆状刚体下落时间较短，所以以毫秒为单位来显示。刚体在斜面滚动时间相对较长,所以以秒为单位显示。

1.2 实验测量原理

实验分为半径相同的圆柱、球形刚体沿斜面纯滚动时间(斜面夹角满足纯滚动)的测量和杆状刚体绕不同的轴转动时系统在垂直转动架中下落的时间测量两部分。半径相同的圆柱、球形刚体在斜面顶部由静止开始滚动到底部光电计时器B记录滚动时间。第二部分实验滑轮转轴中心与杆状刚体中心连接或与刚体一端连接以实现转轴在杆状刚体中心或转轴在刚体一端的两种情况。光电计时器A记录上述两种情况下系统从光电门A1到A2的所需时间。通过上述两个实验可以验证质量分布对滚动速度的影响及杆状刚体系统转轴位置对转动惯量的影响。

1.2.1 圆柱、球形刚体实验

如图3所示，半径为R,

质量为m的刚体在倾角为θ的斜面上作纯滚动。质心为O点。过质心平行于斜面的坐标轴为y轴,过质心垂直斜面的坐标轴为x轴，建立坐标轴并进行受力分析。设质心滚动距离为L,滚动时间为t1，刚体转动惯量为J。(设静摩擦力f沿斜面向上)

图1 刚体转动惯量综合演示仪结构图

图2 刚体转动惯量综合演示仪实物图

图3 斜面滚动刚体受力分析图

由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理可得刚体的动力学方程[7,8]：

解方程组可得

(6)

1.2.2 杆状刚体实验

如图4所示,质量为m，长度为l的杆状刚体固定在转轴上，绕在半径为r的转轴上的细线与质量为M1的重锤连接，滑轮质量为M2,挡光门杆依次经过光电门A1和A2所花费时间为t，下落的距离为H。设下落的加速度为a，滑轮转动的角加速度为α。

图4 杆状刚体系统受力分析图

图4中，M1受到的拉力T2和滑轮受到的拉力T1大小相等，以T表示。定滑轮和杆状刚体组成的系统总转动惯量为J*。对轴O,有

对细绳受力分析,得

M1a=M1g-T

(9)

同时有

(10)

解此方程组可得

(11)

2 实验数据处理与分析

2.1 圆柱、形球形刚体实验

学生在学习转动惯量时，常常认为刚体在斜面上滚动的快慢与质量有关；半径小的球体或短的柱体滚动比半径大、较长的柱体要滚动得快。因此我们针对学生在学习转动惯量时存在的理解误区，利用该转动惯量演示仪做了对比实验。

为了定性地了解刚体在斜面做无滑动滚动的快慢与哪些因素有关，如表1中所示相邻两个为一组，共进行了4组对比实验：除对比因素外，其他条件相同。

表1 材质、半径及长度不同时的滚动对比实验数据

前3组实验中滚动时间几乎相同，说明了刚体在斜面上纯滚动快慢与刚体的材质(即质量)、长度、半径无关。而第4组半径不同的球壳滚动时间有偏差，这是因为球壳有一定的厚度，若按球壳处理半径小的比半径大内径厚度的影响更大,所以两个半径不同的薄球壳滚动时间有一定的偏差。因此半径不同的实心刚体如第1组实验演示滚动时间与半径无关的现象效果更为理想。

为了进一步探究说明不同形状对刚体滚动快慢有何影响，半径相同的薄球壳、球体, 底面圆半径相同的薄圆环、圆盘圆形在斜面无滑滚动测得时间如表2所示。

实验结果显示薄球壳与薄圆筒的质量及半径相同,但二者滚动时间不相同。而形状半径相同的球壳与球体、薄圆筒与圆柱体滚动时间仍然不相同，但是球壳比实心球体、薄圆筒比圆柱体需要的时间长，这是因为前者的质量分布相对于转轴远一些。

表2 不同形状、半径相同时的刚体滚动对比

设测量刚体标准J/m刚R2为λ，将式(6)两边同时平方可得：

(12)

根据测量的刚体滚动时间计算对应的λ(J/m刚R2) 数据如表3所示，与理论值偏差在3.0%以内。

表3 转动惯量系数比较

利用最小二乘法处理数据拟合得曲线如图5所示，其方程为

t2=0.7898λ+0.8095

(13)

图5 t2与J/m刚R2拟合图

2.2 杆状刚体实验

常有学生误认为一个刚体转动惯量是一个定值。本装置通过巧妙的设计可以改变杆状刚体转轴的位置:转轴在杆状刚体中心和在刚体一端两种情况。假设定滑轮和杆状刚体组成的系统总转动惯量J*可表示为

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(15)

由此得杆状刚体的转动惯量

(16)

我们进行了无杆状刚体、杆状刚体中心安装在滑轮中心及刚体一端连在滑轮中心3种情况下的实验。本实验刚体下落高度H=58.30cm,M1=105g,r=18.14mm。通过改变其转轴位置测量的系统下落时间及根据式(16)求出的转轴在中心及转轴在杆一端时的杆状下落高度刚体的转动惯量值见表4所示。实验结果表明改变转轴位置,引起了转动惯量的变化,从而影响了杆状刚体转动速度。

表4 杆状刚体实验数据

由实验结果得出的转轴在杆的中心位置和转轴在杆一端时的转动惯量满足1∶4的关系,说明刚体的转动惯量大小随着转轴位置改变而发生变化，同时也验证了刚体的平行轴定理,该装置可以用于实现定量实验数据测量。

3 结语

我们设计的转动惯量综合演示仪可以演示几种典型形状的刚体在斜面上的纯滚动现象，既可以定性比较滚动时间长短与刚体转动惯量的关系，同时还可以进行转动惯量的定量测量。通过改变杆状刚体的转轴位置从而改变其转动惯量的大小，可以用于验证平行轴定理。该设备杆状刚体的转轴设计非常巧妙，演示现象直观生动，不仅能够帮助学生理解转动惯量概念及影响其大小的相关因素，显著提高教学效果。由于该设备具备定量测量系统，所以可以开发新的力学实验项目。

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