善待错解

黄聪远

摘要：学生学习数学出现的错误一直是数学老师比较关注的问题。其实，我们（学生和教师）每一个人都会在数学学习过程中会犯不同程度的错误，因此，学生在数学学习中出现错误是非常自然的现象，如何利用错误来培养学生的学习能力，是我们老师应该关注的。

关键词：错误；发展；能力

一、点评错误，提高学生分析能力

例已知关于x的一元二次方程a2x2+3ax-4=0求证：方程总有两个不相等的实数根；

错误解法：

解：根据题意，得

b2-4ac=9a2+16a2=25a2

∵25a2≥0

∴b2-4ac≥0

即方程总有两个不相等的实数根

正确解法：

解：根据题意，得

b2-4ac=9a2+16a2=25a2

∵一元二次方程

∴a2≠0即a≠0

∴25a2>0

即b2-4ac>0

∴方程总有两个不相等的实数根

思考：这两道题看似相似，但很多学生容易出现例2错误的解答过程，而且不知问题出在哪？所以在讲解时，我让学生点评，学生通过对例1、例2进行辨析，学生可以加深对一元二次方程的理解。通过分析其他同学错误的原因，理解并掌握考查的知识点，纠正自己的错误，从而总结出此类问题的解题方法和技巧。

二、变式易错题，提高学生思维发散性

变式教学使一题多用，给学生以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲。在教学过程中，根据学生的特点，教师通过创设合理的、有挑战性的变式训练，激发学生的学习兴趣。对于每一个变式，通过在师生、学生之间的相互讨论，促进学生思维发散。

例1已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0.求证：无论k取何实数，该方程总有实数根.

解：根据题意，得

b2-4ac=k2+6k+9-12k=（k-3）2

∵（k-3）2≥0

∴b2-4ac≥0

即方程总有实数根

变式已知关于x的方程（k-1）x2+2kx+2=0.求证：无论k为何值，方程总有实数根.

错误解法：

解：根據题意，得

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4

∵（2k-2）2+4>0

∴b2-4ac>0

即无论k为何值，方程总有实数根.

正确解法：

解：当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=-1，此时该方程有实根；

当k≠1时，方程是一元二次方程，有：

b2-4ac=4k2-8k+8=（2k-2）2+4

∵（2k-2）2+4>0

∴b2-4ac>0

即方程有两个不相等的实数根

∴无论k为何值，方程总有实数根.

思考：这道变式题，很多学生容易陷入例2的解法，没有意识到例2的方程指的是一元二次方程，而变式题的方程可能是一元一次方程，也有可能是一元二次方程；由思维的不严谨所产生的错误在学生中非常常见。比如需要分类讨论的题目往往是学生学习的难点问题。而分类讨论思想也是初中数学常见的，体现学生思维严谨性的数学思想方法，要求学生掌握和应用。分类讨论是根据研究对象性质的差异，分别对各种情况予以考查，这也是学生容易出错的地方，其主要原因是对所讨论变量的取值范围分类不明确。分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法；同时还可以培养我们的洞察能力和全面思考问题的能力。因此通过选择典型问题进行变式训练，力争覆盖此类问题的各种类型，有利于学生构建合理、完整的新知识。

例2已知一次函数y=（m-1）x+m+3经过第一二四象限，则m的取值范围.

解：根据题意，得

m-1<0m+3>0

解得-3

变式已知一次函数y=（m-1）x+m+3不经过第三象限，则m的取值范围.

错误解法：

解：根据题意，得

m-1<0m+3>0

解得-3

正确解法：

解：根据题意，得

m-1<0m+3≥0

解得-3≤m<1

思考：一次函数不经过第三象限，有些学生容易错误理解成就是经过第一二四象限，在解题时，学生对已经接受的知识、解题方法等内容，往往在心目中有比较深刻的印象，常常思维定势，先对问题进行模式辨认，当在解决相似的新问题时，具有试图把新的问题纳入到已建立的模式中加以解决，如此就造成了“先入为主”的思维惰性。这些固然对新知识的建构是很好的经验，但也会限制学生对问题作出更加深入细致的探讨，从而产生思维定势。

总之，万事开头难，在建立错题资源的初期是一个非常痛苦的阶段，一定要长期持久的投入，贵在坚持，因为错题资源重要的是平时的积累与反思。错题资源能改变学生对错误的态度，对待错题的态度是减少做错的关键，可以说一本万利；俗话说：失败乃是成功之母。因为错误才能使认清自己的不足，并且可以优化已有知识结构。

（作者单位：广东省惠州市惠阳区新圩中学516223）