浅谈数形结合在高中数学中的应用技巧

高成语

摘要：数形结合是数学教学与学习的一种重要且实用的思想与方法，尤其是在数学解题中，数形结合的应用具有明显的优势，其对于提升学生解题能力、速度以及正确率具有积极的作用。本文就以高中数学为例，对数形结合在数学中的应用技巧进行探讨。

关键词：数形结合；高中数学；应用技巧

数字与图形是数学的重要载体与表达工具，基于两者的本质，决定了两者之间存在着密切的联系；而高中数学重要的两个分支课程“代数与几何”则进一步证明了数与形的天然联系，故而也就产生了数形结合思想[1]。而数形结合则主要应用于对抽象数学问题的解决，通过借助图形所具有的良好表达能力，将数学关运用图形直观、形象地表现出来。因此，将数形结合应用于高中数学中，需要做到“以形助数”，实现数到形——形到数的一一对应转化，从而将学生的思维逻辑与空间思维相互结合，优化数学解题过程[2]。下面笔者将以高中数学学习中的集合问题、函数问题以及证明题为例子，简单分析数形结合在高中数学中的应用技巧。

一、数形结合在集合问题中的应用

集合是高中数学最基本的知识点，通过观察集合的内在关系（交集、并集、补集）以及表达形式（例如{A，B，C}），都蕴含着图形特点。因此，运用数形结合解决集合问题，能够将数学的关系转化成具体的图形关系，让学生能够更直观、更具体地认识集合之间存在的包含、交叉等关系。而在应用图形解决集合问题时，最为常用的图形表达方法主要有数轴与韦恩图；通常前者主要是应用在相对模糊的集合问题上，例如：在对A、B两个集合的包含关系进行条件判定过程中，涉及了不等式的运算，此时就可以将这两个集合之间的关系反映在数轴上进行标注[3]。

而韦恩图则多用于解决具体化的集合问题，特别是数型集合问题。例如，在以下这道集合问题中：在一次物理竞赛中，一共有甲、乙、丙三道题，竞赛参加人数有25人，在三道题中，每位参赛者至少选做1题；已知在未解出甲题的参赛者中，能够解出乙题的为解出丙题人数的2倍，而甲题解出的人数比余下人数多1，所有只解出1道题的参赛者中，只有一半解出甲题；问有多少参赛者解出乙题？在道数学题中，从文字的叙述上看相对复杂，对于逻辑关系分析能力较差的学生而言，要想解答此道题，相对困难。因此，针对这一题，教师可以运用韦恩图将题目的逻辑关系直观的表达出来：分别应用3个圆表示解出甲、乙、丙三道题的人数，运用A、B、C作为区域代数符号，分别表示甲、乙、丙三道题的解出人数；而后再利用a、b、c、d、e、f、g表示被分割的小区域，以进行划分；最后根据题目叙述进行数式的逐一罗列、转化，最终转变为学生相对熟悉的代数式计算（见图1）。

二、数形结合在函数问题中的应用

函数是高中数学教学的重点，在函数问题中，函数极值是最为常见、同时也是高中数学考察的主要内容，更是高考的重点知识。通常，学生在解决一些相对简单的函数极值问题时，可以利用数学公式、基本不等式等进行解答；但对于一些相对复杂的函数极值问题时，运用数形结合，将数字化内容转换成图形语言，能够有效避免纯数理计算的复杂性，使数学问题在图形关系的描述下更为直观，使学生从传统繁杂的计算中解放出来，省去了大量的数学运算，从而更容易得到问题答案。

例如，在这样一道函数极值问题中：已知x2+y2+2x=0，求（x-1）2+（y+1）2的最小值。这一题如果应用传统的方法进行解答，我们首先需要根据前面的一个方程式求出x与y的关系或者是取值范围后，才能对后面需要解答的函数极值问题进行运算。而这样的计算方式往往会使得学生在运算时，忽略了x与y的共存性，在取值时很容易偏向两者单一存在的情况，使得答案扩大化。在这道题中，运用数形结合的方式，能够将x与y的共存性表现出来，通过将两个函数图像放在坐标系中进行直观的表达，从而将极值问题转变为图像关系问题，其实也就是距离问题，最终能够结合直观的图像进行简单的单数运算，从而得到问题答案（如图2所示）。

三、数形结合在证明题中的应用

在高中数学学习中，坐标系的引入，不仅拓宽了数学知识的图像表达空间，同时，基于函数图像下，进一步推动了数形结合在高中数学中的应用[4]。而高中数学中，解方程（组）或不等式（组）是最为常见的证明题，同时也是历年高考数學必考的重点。对于不等式的证明，方法很多，学生在解题过程中，必须做到具体问题具体分析。而对于一些相对复杂的不等式证明问题，通过数形结合的方式进行分析，能够取得更为鲜明的效果，使不等式问题在图形分析下更容易被证明。

例如，在以下这道证明题中：假设a、b、c、d皆为正数，并且ab=cd，求证：a+bc+d=a2+b2c2+d2.在这样一道证明题中，教师可以引导学生运用数形结合的方式进行求证，具体步骤如下：

证明：由ab=cd，a2+b2以及c2+d2，能够作出两个相似的直角三角形.

假设a≥c，可作一个直角三角形△ABC，使得∠C=90°，而BC=a、AC=b，在△ABC的BC边上取一个D点，使BD=c，而后过D点作一条垂直于BC的直线DE，使DE⊥BC并交AB于E点，具体图像如图3所示，进而使得△ABC∽△EBD.

由于BCAC=BDDE，所以ab=cDE；再由ab=cd，故而DE=d.

此时，在BC作延长线CF，使CF=AC，再于直线BC处取G点，使DE=DG，最后连结EG、AF，能够证明△EDG∽△ACF.

由此可以证明：BFBG=BABE，所以a+bc+d=a2+b2c2+d2.

通过图形结合的方式，使得证明过程变得形象化、直观化和具体化，在降低学生解题难度的同时，更便于学生对知识的理解与掌握，在提升学生解题能力的同时，提升其对数学知识的应用能力。

四、小结

除了上述所列举的三方面数学问题的运用以外，数形结合还能够应用于复数、三角函数、以及立体几何等数学问题的解题中。总而言之，在高中数学的教学中，教师要注重数形结合思想的渗透，向学生传授数形结合在解答数学问题中的应用技巧，通过提升学生数形结合能力，进而促进学生数学解题能力、数学知识水平以及数学应用等数学综合素质的提升。

参考文献：

[1]杨建珍.浅谈数形结合在高中数学中的应用技巧[J].科学咨询（教育科研），2016（08）：87.

[2]吕群英.数形结合在高中数学中的应用探讨[J].高考，2017（15）：128.

[3]刘志英.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].学周刊，2014（13）：153.

[4]柯张军.浅谈数形结合思想在高中数学中的应用[J].数学通讯，2016（Z2）：43-45.

（作者单位：安徽省明光市第三中学239400）