巧借多元求最值问题的一题多解，深化数学学习情感

王峰

【摘要】说数学枯燥其实是错误的.数学教学过程中，教师可以借一题多解让学生品味到数学是有“美味”的.同时，学生也可以借一题多解加强对数学的认知、加深数学学习情感.在讲解“基本不等式及应用”时，笔者将预习方式由宽泛式全面预习调整为聚焦式有针对性预习，以解法为主线，让学生思考一道多元求最值问题的解法，让学生品味到了数学思考带来的乐趣、领悟到了数学能力提升带来的学习价值、深刻体验到了数学学习中获得各种感受、尝试、领悟的情感与价值观.

【关键词】一题多解；多元求最值问题；深化；数学学习；情感

无论是新授课还是复习课，一题多解始终是激发学生数学学习兴趣的重要手段.数学学习离不开做题，高三复习课更是如此，但是如果学生只是能做题，而不能在做题的过程中领悟到知识运用、方法形成、思想延伸的真谛，也就是“死做题”.借助一题多解，可以深化知识、方法、思想的理解，也能从中感受到数学学习的趣味，还能领悟到数学内在的联系与奥妙.

高三一轮复习过程中，笔者多次想对复习形式稍做调整，以改变学生对复习课固有模式的“生厌”情绪，帮助学生调整数学学习心态，适当激发学生高中最后阶段的数学学习激情，同时也是对数学教学的模式做了一次自我探索.

在复习到“基本不等式及应用”这一节时，笔者调整了预习要求，由宽泛式全面预习转变为聚焦式有针对性预习，预习的重心放在了基础训练的第5题，以解题方法为预习主线，知识回顾、方法小结、数学思想汇总为辅线，让一名学生在课堂上主讲该题，其他学生补充，教师从旁协助.小试之后，课后与学生交流了这道题，感觉收获良多.

一、方法再现

题目设x，y，z为正实数，满足x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是.

（一）主讲：学生甲

（法1）由y=x+3z2得到y2xz=（x+3z）24xz=x4z+9z4x+32≥2x4z×9z4x+32=3.

（当且仅当x4z=9zx即x=y=3z时取“=”），故最小值为3.（下面概括性介绍方法）

在这个过程中，有两点应该要注意：1.应能根据式子特点选择消元的处理手段；2.要考虑基本不等式应用的条件“一正二定三相等”.

（法2）在法1的基础上，得到1=x+3z2y，故而1=x+3z2y2，故y2xz×1=y2xz×x+3z2y2，下同法1，此方法主要是体现基本不等式中“1”的妙用.

（法3）在以上两种方法的基础上，由消去y该成消去x或z（效果一样），即x=2y-3z，代入y2xz得y22yz-3z2=12zy-3zy2=1-3zy-132+13≥3（此时zy=13）.

在这个过程中要注意分子、分母同除以y2时要考虑y≠0.

师：其他同学还有没有疑惑？

学生乙：zy=13能成立吗？

学生甲：哦，前面要注意由x=2y-3z及x，y，z是正数得到zy∈0，23.这里一定要注意被消去的元对保留元的范围的限制，其次就是转换到二次函数与分式函数符合的函数求最值.

【小结1】前面三种方法都是建立在直接消元的基础上完成的.

（法4）等式两边同除以y，得到2=xy+3zy，令a=xy，b=zy， 则a+3b=2，所以y2xz=1ab（后略）.

这种处理方法是受到前一节例题2的启发联想到的，看来学生的听课效果还是不错的.

（法5）由2y=x+3z得到数列x，y，3z成等差数列，设公差为d∈R，x=y-d>0，3z=y+d>0，则y2xz=3y2y2-d2（后略）.

（法六）取y=1，则x+3z=2，所以y2xz=1xz（后略）.

【小结2】以上三种方法主要是建立变相消元的基础上完成的.

（二）补充1：学生乙

学生乙：从所求式子作为切入点，想到了以下方法.

（法七）令t=y2xz>0，则4y2=4txz，又x+3z=2y，所以整理得到关于x的一元二次方程在x2+（6z-4tz）x+9z2=0有正数解.

（法八）在法七的基础上，将z作为常量，转换为直线y=12x+32z与抛物线y2=tzx的公共点问题，取相切状态即可.

【小结3】以上两种方法是在函数与方程中求最值的.

（三）补充2：学生丙

学生丙：运用基本不等式求最值应该是最直接的方法.

（法九）y2xz=3y2x·3z≥3y2x+3z22=3.

（法十）由x+3z=2y≥2x·3z4y2≥12xzy2xz≥3.

【小结4】这两种方法都是直接使用基本不等式求解最值，关键是和、积之间的转换.

至此，这道题的解法已经基本完毕，虽然在课堂上呈现的并不是如此的有规律，课后与学生交流之后，很多学生都能将所呈现的方法有序归纳，使得笔者深刻感受到这堂课“收益匪浅”.

二、一题多解

同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”.其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题.一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.

一题多解是一个老生常谈的问题，但是在这里它发挥了不小的促进数学学习的功效.

1.强化了数学学习三基.在这道题中基本不等式是解决问题的基础也是主干知识，但是为了使用基本不等式，学生需要拥有观察、化简、配凑、计算等基本技能，这些技能都在一题多解之中得到了强化.同时求最值运用基本不等式的方法也在这一题多解中不断使用、不断强化.

2.生發了数学趣味.这堂课学生学得很轻松、很自在，因为他们真正地做了学习的主人，这主要是得益于一题多解使学生更积极主动地参与进解决问题之中.

3.开拓了数学思维.从消元到换元再回到消元，从基本不等式到函数与方程再回到基本不等式，无不渗透了数学思维的训练，使学生的数学思维经过反复操练，达到炉火纯青的地步.

三、多元问题

这是高中数学必须研究的问题，也是高考中的热门问题，多与函数、基本不等式、解析几何等知识相结合考查学生的数学综合素养.解决多元求最值问题主要按照：确立关系式→消元或换元→构造基本不等式→确定函数与方程关系的步骤解决，如果无法确立多元的关系式，则在消元或换元的基础上需要找寻相应的解决之策.

当然多元求最值问题需要注意：1.消元时要注意被消去的元的范围对保留元的范围的制约；2.换元时要注意新元的范圍.

四、学生收获

课下与学生交流了这样一次课堂给他们的感受如何，学生皆大呼好久没有这样动过脑筋了，真的很过瘾.于是我让学生对这堂课做了一个总结，大致整理下来有以下收获.

1.四个“学会”：学会思考、学会研究、学会反思、学会做数学题.在高速推进教学进度的过程中，教师即使想在一题多解上花点时间也不敢花的时间过多，这就导致了学生的思考的间隙被严重压缩，无法有自己的思考，更没有展现学生“原生态”思考的机会.研究数学、反思数学更是无从谈起.

2.三个“理解”：理解知识、理解方法、理解数学内在.每一名学生在小结中都提到了这道题彻底“吃透”了，还有很多学生能把消元、换元的意识，使用基本不等式要注意“三相等”的检验写在了小结里，确实证明了他们的理解.其实本题涉及的知识与方法并不多，更多的是一种形式上的转换（或变形），不论是直接或间接运用不等式还是函数与方程解题，都有共同的内在联系.

3.两个“激发”：激发了数学学习的积极性、激发了数学学习的主动性.智慧的教学是激发学生主动参与的有效教学.在参与中锻炼学生学习主动性，培养学生学习的积极性.新课程让学生做学习的主人.把学习看成是师生交往，积极互动，共同发展的过程.教学实践也一再证明，没有学生主动参与的教学不是有效教学，更谈不上学生的自主学习.在教学探索中，我们认识到学生主动参与至少要达到充分激发和调动学生学习的主动性、积极性和自觉性，引导学生思维与情感的主动参与的目的.

4.一个“确定”：确定了数学学习的目标.数学教学必须有教学目标，数学素养就是教学目标.数学学习也需要确定方向，这样才能坚定不移地学习数学，不论在这个过程中遇到多大的挫折也都能勇敢面对，直至实现自己的目标.当看到绝大多数学生主动给自己制订了一个目标分数及数学学习计划（之前没有布置）之后，我相信学生们已经有了自己明确的数学学习目标.

通过这道一题多解的题让学生品味到了数学思考带来的乐趣、领悟到了数学能力提升带来的学习价值、体验到了数学学习中获得各种感受、尝试、领悟的一种学习方法，它与新课程中教学三维目标的情感态度价值观有了直接联系.