一类带有非线性边界耗散的粘弹性方程解的存在性和能量估计

刘 娟, 蒲志林

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

1 预备知识

本文考虑以下带有记忆项且带有边界耗散的粘弹性方程的初-边值问题

(1)

其中,Ω是Rn(n≥0)中的有界区域,边界Γ光滑,Γ=Γ0∪Γ1,且

Γ0∪Γ1=Ø,meas(Γ0)>0,

问题(1)具有重要的理论和实际背景[1-2].文献[3-4]讨论了关于粘弹性一般衰变问题,粘弹性问题解的存在性和长效记忆性也被讨论和建立,例如文献[5]讨论问题(1)在Dirichlet边界条件下解的能量衰减与记忆核g的衰减性是一致的.文献[6]讨论边界带阻尼和记忆源项的波动方程

解的存在性和一致衰减估计.类似地,文献[7]讨论了问题

(3)

在条件-c1g(t)

本文是受文献[7-8]的启发,首先建立了方程(1)解的存在性结果，随后在h和g满足一定假设条件下,建立一个明确的和一般的衰变率结果,证明基于乘子方法和一些凸函数的性质.

在方程(1)中，g(s)是方程的记忆核,通常它满足以下假设[2]:

(G1)g(s)∈C2(R+)∩L1(R+),∀s∈R+;

(G2)g(s)≥0,g′(s)≤0,∀s∈R+;

(G4) -ξ2g(s)≤g′(s)≤-ξ1g(s),g″(s)≤-ξ3g(s),∀s∈R+,其中ξ1、ξ2、ξ3都是正实数.

这里，满足假设(G1)～(G4)的记忆核g(s)是存在的,例如g(s)=e-bt,∀b>0.

对边界阻尼函数h(·)要求满足以下假设:

(G5)m2≤h′(s)≤m1<∞,∀|s|≥M,这里的m2、m1都是正的常数;

(G6)h(s)s≥0,∀s≠0,h(0)=0,s=0，此外,方程(1)满足兼容性条件(在边界Γ1上);

本文对u、v∈H1(Ω)，记

定义

V={v∈H1(Ω);v=0onΓ0}

在V空间上的内积和范数分别定义为

(4)

则V是Hilbert空间,为了方便起见,记

(5)

(6)

(g⊙u)(t)=(g∘u)(t)+(g⊗u)(t).

(7)

引理1.1[9]对于任意φ∈C1(0,T;H1(Ω))有

(8)

引理1.2若u是系统(1)的解,且不妨假设在Γ上u0=0,则有

(9)

2 解的存在性与唯一性

定理2.1若初始条件u0∈V,u1∈L2(Ω),且假设条件(G1)～(G6)都成立,则问题(1)存在一个唯一解满足

u∈C(0,∞;V),ut∈C(0,∞;L2(Ω)),
utt∈C0(0,∞;V-1).

问题(1)的变分形式为

(utt(t),ω)+(u,ω)-
(g(t-s)u(s)ds,ω)=
(g(t-s)(u(s)+h(us)(s))ds,ω)Γ1-
((u+h(ut)),ω)Γ1, ∀ω∈V.

(10)

Wm(Ω)=span{ω1,ω2,…,ωm},

令

是下面Cauchy问题的解

(umtt(t),ωj)+(um(t),ωj)-
(g(t-s)um(s)ds,ωj)=
(g(t-s)(um(s)+h(ums(s))ds,ωj)Γ1-
((u+h(umt)),ωj)Γ1,j=1,2,…,m.

(11)

由常微分方程理论,知道问题(11)解在区间[0,tm)是存在的,然后将这个解延拓到闭区间[0,T]上也是唯一存在的.

第一步(先验估计) 用λjt乘以(11)式并对j求和可得

(12)

利用Gauss-Green公式[13],引理1.1以及假设(G3)和预备知识,可得

(13)

其中由假设条件(G5)～(G6)可得

(14)

(15)

根据假设(G4),可得

(g′⊙um)(t)≤-ξ1(g⊙um)(t)

.

(16)

(17)

定义泛函

(18)

结合(13)～(17)式得到

(19)

故(19)式满足

(20)

其中C1是不依赖于m的常数,结合(20)式,利用Gronwall引理可得到

Φm(t)≤Φm(0)e-C1t

.

(21)

当t→∞时,存在着R1>0,使得Φm(t)≤R1.定义

(22)

显然,Λm(t)≤Φm(t),故由(21)式可得

Λ(1)m(t)≤R1,

(23)

对于任意的t∈[0,∞)都成立,且R1是一个不依赖于m的正常数.

第二步(解析性) 结合先验估计的结果(23)式可以得到

um在L∞(0,∞;V)中有界,umt在

L∞(0,∞;L2(Ω))∩L2(0,∞;V)

中有界,umtt在L∞(0,∞;V-1)中有界,因此存在着子列{um}使得,当m→∞时,在L∞(0,∞;V)中

通过Sobolev迹嵌入定理和假设(G5)可以得到h(umt)在L∞(0,∞;L2(Γ1))中有界,于是存在着子列{um}使得在L∞(0,∞;L2(Γ1))中,

在(11)式中取m→∞时,由以上逼近结论可知u(t)满足方程(1)以及变分形式(10)式.

第三步(解的唯一性) 设u1、u2为问题(1)的2个解,∀v∈V,令w=u1-u2满足

(wtt(t),v)+(w,v)-
(g(t-s)w(s)ds,v)=
(g(t-s)(w(s)+h(u1s(s))-h(u2s(s)))ds,v)Γ1-
(w,v)Γ1+(h(u1t)-h(u2t),v).

(24)

在方程(24)取v=wt,由假设(G5)可知函数h是单调递增的,故可得

(25)

定义

类似于(15)～(17)式的估计方法,可以得到

(26)

其中,取适当的δ,可以得到

(27)

故利用Gronwall引理,结合(26)式可得到

Φ(t)≤Φ(0)e-C4t.

(28)

当初值条件相同,有Φ(0)=0,故Φ(t)=0,u1=u2.定理2.1得证.

3 能量衰减估计

主要讨论问题(1)的能量的衰减估计.定义能量泛函为

在变分形式(10)中令v=u′,可以得到

(29)

其中

(30)

(31)

因此可以得到

(32)

定理3.1若假设(G1)～(G7)都成立,且假设‖g‖L1(0,∞)足够的小,则问题(1)的能量呈指数衰减的,即

E(t)≤Cexp(-γt), ∀t∈(0,∞),

其中C、γ为正常数.

证明为了得到E(t)的衰减形式,需要构造辅助泛函

定义

F(t)=E(t)+γ1Θ1(t)+γ2Θ2(t),
∀t≥t0,

(33)

其中γ1、γ2为正常数,定理3.1的证明由以下引理可得到.

引理3.2由上述定义,可以得到F(t)和E(t)的关系,存在常数χ1、χ2使得

χ2E(t)≤F(t)≤χ1E(t).

(34)

证明利用Hölder与Young不等式可以得到

取较小的ε0、γ1、γ2以及让|g|L1(0,∞)足够小即可得到.

引理3.3若u是系统(1)的解,定义辅助泛函

在假设(G3)～(G5)条件下,则对于任意的ε1>0都有

(35)

证明在(33)式两边同时对t求导可得

(36)

对上式右端项进行估计,利用Hölder以及Young不等式可以得到

(37)

同理在边界上可以得到

(38)

利用假设条件(G5)得到

(39)

又由引理1.2可以得到(36)式最后一项估计

(40)

ε1是任意数,将(37)～(40)式代入(36)式可以得到

(41)

令

即引理3.2得证.

引理3.4若u是系统(1)的解,定义辅助泛函

在假设(G3)～(G5)条件下,则对于任意的ε2>0都有

(42)

证明在(33)式两边同时对t求导可得

(43)

下面对(43)式第一项进行估计

再对J1中的每一项进行估计有利用相关不等式可以得到

(44)

类似地在边界上也有

(45)

(46)

(47)

利用假设(G5)和引理1可以估计

(48)

(49)

其中ε2为任意数,结合(44)～(49)式可以得到J1的估计式

(50)

现在对(43)式中第二项进行估计

(51)

结合(43)、(50)和(51)式可以得到

(52)

其中令

可以得到引理3.4.现在回到定理3.1的证明.由(33)式可知

F(t)=E(t)+γ1Θ1(t)+γ2Θ2(t),

对F(t)求导后,通过(32)式,引理3.3和引理3.4可以得到

(53)

其中

显然有K3、K4>0.又由假设(G1)可知

(g′⊙u)(t)≤0.

故可以得到

F′(t)≤-KE(t)+K3(g⊙u)(t),
∀t≥t0.

(54)

在(54)式两边同时乘以ξ1，再利用假设(G4)可以得到

ξ1F′(t)≤-Kξ1E(t)+K3ξ1(g⊙u)(t)≤
-Kξ1E(t)-K3(g′⊙u)(t)≤
-Kξ1E(t)-C8E′(t), ∀t≥t0.

(55)

令G(t)=ξ1F(t)+C8E(t),类似于(34)式有

χ4E(t)≤G(t)≤χ5E(t), ∀t≥t0，

(56)

其中χ4、χ5为正常数,通过(55)、(56)式可得到

G′(t)≤-Kξ1E(t)≤-γG(t),
∀t≥t0.

(57)

所以,利用Gronwall引理得到

G(t)≤G(0)exp(-γt), ∀t≥t0.

(58)

从而根据(55)式可以得到

E(t)≤Cexp(-γt), ∀t≥t0

.

(59)

故定理3.1得证.