含腐蚀缺陷悬空管道的考虑多个变量相关性的非概率时变可靠性分析

王艺环，冼国栋，刘思铭



含腐蚀缺陷悬空管道的考虑多个变量相关性的非概率时变可靠性分析

王艺环1，冼国栋2，刘思铭3

（1.西南石油大学 机电工程学院，四川 成都 610500；2.中国石油西南管道公司，四川 成都 610000；3.西南石油大学 土木工程与建筑学院，四川 成都 610500）

考虑管道工程中的小样本数据难以得到准确的概率分布且采集数据需大量费用，且影响不确定因素相互影响的前提下，在研究其可靠性时提出利用非概率集合理论凸方法为理论基础的椭球模型。考虑结构抗力随时间衰变的客观特性，基于随机过程的时变可靠性分析需要大量的数据，提出了更符合实际情况的随时间抗力的时间累计效应产生的衰变和腐蚀随时间增长向相结合的模型，并结合实际带腐蚀缺陷的悬空管道的极限悬空长度式子，建立了考虑腐蚀缺陷悬空管道的时变极限状态方程，进行二维与三维的不确定变量相关性的非概率可靠性分析。可以作为基于随机过程理论的腐蚀悬空管道的时变可靠性分析理论的有效补充，为埋地油气管道的维护提供理论依据。

腐蚀悬空管道；椭球模型；腐蚀相关性；小样本；非概率可靠性

世界经济发展伴随石油需求量的增加[1]。管道悬空是其在遭受自然灾害或人为破坏后的一种客观存在的危险状态，长输埋地压力管道会因其悬空而产生破坏[2-3]，且运行后的管道可能含有各种腐蚀缺陷，从而加速悬空管道失效。相关研究表明，腐蚀是管道失效的最主要因素[4]。国内外学者对在各类地质灾害情况下腐蚀缺陷管道进行了研究[5]，如于东升等[6]利用数值模拟研究了无缺陷和含缺陷悬空管道的应力分布，国内外研究工作对腐蚀管道可靠性评价时大多是假定腐蚀缺陷参数之间是独立的[7-8]。但在客观上影响管道腐蚀的随机变量之间存在着相关性[9]。在对管道结构进行可靠性分析时，经典的概率可靠性是基于大量统计数据、且概率模型对参数的概率分布有极高敏感性，因此概率可靠性模型有一定的局限性[10-11]。在实际工程设计中，变量的具体概率分布难以获取并且获取信息的成本极高，因此研究人员是利用有限信息来进行结构的可靠性分析。Ben-Haim等[12]提出了小样本数据下的非概率集合理论描述不确定性的概念，当用凸域来描述不确定变量时凸域形状和大小可以分别反映变量的己知程度和不确定变量的波动幅度[13]。张鹏等[14]利用非概率凸模型对地震作用下的管道进行了非概率可靠性分析。区间模型和椭球模型是非概率集合理论凸方法的分析中常见的分析方法，区间模型的前提是不确定性参数相互独立，而椭球模型则考虑了不确定参数之间的相关性。邱志平[15]对区间模型和椭球模型进行了详细阐述和区别。乔心州等[16]利用椭球凸集合进行了结构非概率可靠性分析。Pantelides和Ganzeli[17]进行了椭球凸集合模型的建模并应用于工程实际问题。Ganzerli等[18]提出可以通过对比椭球和区间两种凸模型求解结构响应范围的凸模型叠加法。当考虑时间对抗力和应力的影响时，大量学者进行了时变可靠度理论的研究。李桂青[19]以大量的试验研究工作为基础，提出了不同随机过程的界限条件下抗震结构和抗风结构的时变动力可靠性分析方法。但基于随机过程的动态可靠性需要大量的样本信息[20]，故可建立基于小样本的凸模型理论的非概率时变模型。王丕东等[21]对利用凸模型理论进行机械的时变可靠性分析。张俊芝等[22]基于Bayesian的概率分布方法进行了服役结构的可靠性分析。

综上，本文以凸模型理论为基础考虑并考虑变量的相关性的有腐蚀缺陷的悬空管道的非概率时变可靠性分析，为小样本的带缺陷的悬空管道的可靠性研究提供了新的研究思路。

1 基于Winkler地基梁的悬空管道力学模型分析

悬空管道可以分为管道完全悬空段和管土相互作用段[23]，如图1所示。

图1 管道悬空示意图

建立力学模型，根据Winkler地基梁模型将管道周围的土体简化为等效弹簧来模拟管土的相互作用，如图2所示。设土弹簧的刚度系数为，其自由度是由土壤特性和土体运动确定。()为处管道因土体塌陷而产生的位移，在悬空段两端受土体支承的区域也是土体的位移。认为土体塌陷区域管道关于悬空段中点对称，设悬空段管道总长为21，端部受影响的管段长度为2。对称截面的挠度为1、弯矩为0。为单位长度管道荷载。当悬空段管道长度较短时轴力的影响可以不考虑，但悬空段管道较大时则需要考虑轴力的影响。

图2 基于Winkler地基梁的悬空管道力学模型

1.1 不考虑轴力的悬空管道力学模型

悬空段（段）和土体弹性变形段（段）管道任一截面的弯矩为：

式中：为Winkler地基梁坐标；2为地基梁的挠曲线方程。

式中：为弹性模量，MPa；为截面惯性矩，mm4。

对式（3）直接积分可得：

解式（4）非齐次线性常微分方程，得：

式（5）和式（6）中的8个常数由管道边界条件和连续光滑条件确定[24]。

1.2 考虑轴力的悬空管道力学模型

考虑轴力影响时区域内悬空段（段）和土体弹性变形段（段）任一截面弯矩为：

式中：0为轴力，KN。

由式（9）和式（10）解得：

式（10）的特征方程为：

解得：

式中：＝/＞0。

式（10）的解依赖于（1－4）的值，需要单独讨论：

（1）当1－4＞0即02＞4时，通解为：

（2）当1－4＝0即02＝4时通解为：

（3）当1－4＜0即02＜4时通解为：

2 腐蚀管道失效概率模型

油气管道缺陷通常包括焊接缺陷、凹痕缺陷和腐蚀缺陷。对于金属油气管道，腐蚀缺陷十分常见。根据腐蚀缺陷出现部位不同，即管道内表面或外表面，可以划分为内腐蚀缺陷和外腐蚀缺陷两类。而压力管道的腐蚀失效是其主要模式之一，在国内的油气集输管道腐蚀失效案例中管道局部腐蚀导致的失效事故所占比例比全面腐蚀大得多。由于内部等腐蚀性介质的油、气、水的侵蚀，管道极易发生局部腐蚀。

2.1 管道局部腐蚀

局部腐蚀一般难以预计且隐蔽性较强，常集中于某个部位。由于其破坏快速，所以危害性较大，如图3所示。

图3 局部腐蚀

管道局部腐蚀的主要失效模式为局部爆破失效，原因是局部腐蚀缺陷处的剩余壁厚不能承受内压时，不仅会导致管道的局部爆破而造成介质大量泄漏，管道压力还会显著下降。在Modified ASME B31G中[25]，腐蚀缺陷用缺陷最大深度和沿管道轴向缺陷最大深度表示。大多数腐蚀缺陷管道的研究常将缺陷简化为等深度形状，如图4所示[26]。

2.2 腐蚀增长模型

对于腐蚀的准稳态过程中，可以将腐蚀增长过程（深度、长度、宽度）表达为时间的线性函数[27]，即：

式中：0为初始的腐蚀缺陷的深度；v为径向增长速率，且v＝Δ/Δ；0为初始的腐蚀缺陷的长度；v为轴向增长速率，且v＝Δ/Δ；0为初始腐蚀缺陷的宽度，v为环向增长速率，且v＝Δ/Δ。

图4 具有理想腐蚀缺陷的管道剖面图

3 椭球模型

非概率集合理论凸方法的研究对象是样本信息匮乏且分布无法确定，而其界限易能获取。

基于非概率集合理论为基础的分析方法主要为椭球模型和区间模型。椭球模型可考虑不确定参数之间的相关性，但区间模型是指相关参数是独立的。与区间模型相比，椭球模型边界更加紧凑，能得到更准确的可靠度。当有界不确定参数用椭球来描述时参数在椭球内取任意一点的可能性是相同的，从概率角度而言可以看作参数在椭球内服从均匀分布。

3.1 椭球模型

3.1.1 椭球模型的定义

式中：为维空间区域；R为维空间；为椭球变量；为椭球中心；为椭球的特征矩阵的逆矩阵，决定了椭球的形状﹑大小和方向，能表征椭球变量之间的相关性。

3.1.2 具有相关性的二维椭球模型

相关随机向量的协方差矩阵记为：

则可以通过协方差构造二维椭球方程为：

图5 二维椭球相关性模型

3.2 二维椭球模型的相关系数

相关系数反应出不确定域的几何特征，当相关系数为正数时表示一个变量增加而另一也随之增加，当相关系数为负数时表示一个变量增加而另一个变量减小；相关系数的绝对值表明随机变量之间关系越紧密。而随机变量相关性的大小及其对失效概率的影响程度随实际情况而变化。

对于区间变量有ρ1X2＝1，对于椭球模型而言ρ1X2的大小反映了区间变量1和2之间的相关程度。图6是描述区间变量1和2的正相关性和负相关性的二维椭球不确定域。

图6 区间变量X1和X2的二维椭球不确定域

3.3 二维椭球标准模型化

对式（27）进行标准化，可得：

二维椭球标准模型化如图7所示。

4 具有相关性的二维区间模型的非概率时变可靠性求解

4.1 非概率可靠性分析

建立结构的功能方程为：

式中：为结构抗力；为荷载效应。

不确定域的度量模型不同，其标准化的方式也不同。

当区间为[x,x]时，利用区间中点x和区间半径x来反应模型的几何特征：

（31）

对参数进行标准化变换，得到：

则式（28）可以变为[30]：

引入：

可以得到标准空间的圆：

当描述具有相关性的椭球模型时，的物理意义为标准化区间变量的扩展空间里，最小二范数||·||∞度量从坐标原点到失效面的最短距离，如图8所示。

式中：为基于椭球模型的非概率可靠指标；||·||2为二范数距离；()＝0为极限状态。

图8 标准空间椭球模型的非概率可靠指标

4.2 时变可靠性模型

由于各种原因，包括变化载荷作用、环境条件变化、材料自身性能退化，在实际工程中，结构在一次激励下的荷载具有随机性，即效应具有时变特性。需要区分，一般来说结构的抗力是衰变的过程，而结构的效应是加载时的陡然变化。不确定结构的抗力随时间退化，而载荷随时间的随机性也很大，因此将时间因素考虑在内的结构可靠性更符合实际情况。

传统的可靠度是一个定值，但实际上结构强度具有衰变、并且载荷效应也是动荷载。随着结构的抗力和效应同时发生变化，结构的可靠度会表现出时变或动态特性，其时变衰减模型可以表示为：

式中：()为结构考虑时变性质的抗力；()为结构考虑时变性质的效应；为考虑时变性质的功能函数。

＝0时，即可得极限状态方程为：

在结构的整个生命周期[0,]，结构的安全界限可表示为：

当考虑结构的衰变特性时，其抗力为：

式中：()为结构使用年后的结构剩余抗力；(,)为随时间的衰减函数；为抗力的衰减参数；0为结构初始的抗力。

结构或构件的抗力衰减函数(,)与结构的材料、类别、受力特点、使用条件及环境等因素有关。李桂青等[31]提出的指数衰减函数为：

式中：＝－In()，一般取50；当(50)＝0.7时，＝0.3567；当(50)＝0.8时，＝0.2232；当(50)＝0.9时，＝0.1094。

4.3 含缺陷的承受横穿滑坡作用的管道的极限状态方程建立

与非缺陷管道影响因素相同部分外，管道能承受的悬空作用长度L的决定因素还包括腐蚀缺陷的尺寸。由于此次研究未考虑缺陷宽度以及缺陷深度变化的影响，仅考虑缺陷长度的影响，因而内腐蚀缺陷管道能承受的横穿滑坡作用长度L将包含缺陷尺寸参数，即此处的长度参数。

故含缺陷条件下，L可表示为：

考虑到管道的腐蚀缺陷时变特性，可以得到有腐蚀时变特性的悬空管道的广义抗力为：

可得含缺陷管道承受横穿滑坡作用长度的极限状态方程为：

当其中任意2个不确定系数为具有相关性的区间变量描述时，可以建立优化方程，并利用Matlab优化软件的序列二次规划SQP算法求解[29]，进而得到非概率可靠性指标为：

根据GB 50068－2001《建筑结构可靠度设计统一标准》[32]可以得到，当＝0时结构处于极限状态，当＞0时结构安全，当＜0时结构失效。

按照经典的结构可靠性理论，设超曲面＝()＝0为失效面，将结构的基本参量空间分为失效域和安全域两部分。当＞1、即＞0时结构安全可靠；当1＜＜1时，则＞0或着＜0都有可能，则结构可能安全可能失效，从工程通常认为此种情况结构不可靠；当＜1时则＜0，此时结构失效[33]。而利用的值可以评价管道的安全程度，的值越大就表明其波动区域距失效域越远，管道的安全程度越高。

5 工程实例

对机械的可靠性研究也越来越多[34]。以某X52有腐蚀缺陷的悬空管道为例，结合时变可靠性模型和根据文献[35]有限元软件建立模型并进行数据拟合后的公式，得到了有腐蚀缺陷位于悬空管道端的极限状态方程。

当腐蚀缺陷位于悬空管道端时，得到极限状态方程如式（47）所示。

5.1 径向腐蚀深度与环向腐蚀深度相关性的影响

腐蚀悬空管道基本参数如表1所示。

当腐蚀缺陷位于悬空管道端，假设缺陷深度与宽度相关系数依次取0.2，0.4，0.6，0.8，其他随机变量之间相互独立。根据Matlab数学优化工具可得到腐蚀缺陷长度和深度的非概率可靠指标随时间和相关系数变化的趋势，如图9所示。

5.2 径向腐蚀速率与环向腐蚀速率相关性的影响

腐蚀悬空管道基本参数如表2所示。假设径向腐蚀速率与轴向腐蚀速率相关系数依次取0.2，0.4，0.6，0.8，其他随机变量之间相互独立。可以得到腐蚀轴向腐蚀速率和径向腐蚀速率的非概率可靠指标随时间和相关系数变化的趋势，如图10所示。

表1 腐蚀悬空管道基本参数

图9 考虑相关性的腐蚀长度和深度随时间变化的非概率可靠指标

5.3 管道的腐蚀深度、腐蚀宽度和悬空长度的相关性影响

腐蚀悬空管道基本参数如表3所示。

表2 腐蚀悬空管道基本参数

表3 腐蚀悬空管道基本参数

当考虑管道的腐蚀深度、腐蚀宽度和悬空长度相关时，即相关系数矩阵为：

可以得到构建的三维椭球模型为式（49）。

当为10年时，假设腐蚀深度与腐蚀宽度和极限悬空长度之间相关系数依次取0.2、0.4、0.6、0.8，其他随机变量之间相互独立，得到结果如表4所示。

综上所述，非概率可靠性指标随时间变化呈现递减趋势，对于局部腐蚀的管道，在考虑腐蚀缺陷的深度和长度相关性、径向腐蚀速率与轴向腐蚀速率相关性的影响时，非概率可靠性指标都随相关系数的增大而增大，而在考虑3个不确定变量的相关性时，即腐蚀深度﹑腐蚀宽度和极限悬空长度时，非概率可靠性指标随相关系数的增加而减小。

6 结论

（1）在只有小样本的有腐蚀缺陷的悬空管道分析中，以非概率凸集合为理论基础的区间模型建立多因素影响下的极限状态方程，更利于管道工程的时变非概率可靠性分析与评估。

表4 非概率可靠性指标

（2）在小样本贫信息的条件下，结合凸模型理论与有限元的分析，建立以有腐蚀缺陷的悬空管道的非概率凸集合可靠性分析的模型。

（3）通过对腐蚀悬空管道的可靠性指标的比较可以得到，从管道安全运行考虑，应加强收集和统计对其非概率可靠指标影响较大的随机变量，可以忽略不计对腐蚀管道可靠性影响较小的随机变量。

（4）奠定了长输成品油管道在遭受地质灾害情况下的非概率可靠性分析的基础，并将其结合不确定变量的相关性研究，更适应于普及结构可靠性设计。

[1]G HU，P ZHANG，G WANG，et al. The influence of rubber material on sealing performance of packing element in compression packer [J]. Journal of Natural Gas Science & Engineering，2017（38）：120-138.

[2]张鹏，魏韡，崔立伟，龙晓丹. 地表冲沟条件下悬空管道的力学模型与延寿分析[J]. 天然气工业，2014，34（4）：142-148.

[3]帅健，王晓霖，左尚志. 地质灾害作用下管道的破坏行为与防护对策[J]. 焊管，2008，31（5）：9-15.

[4]张鹏. 油气长输管线的安全性、可靠性和风险技术的研究策略[J]. 石油工业技术监督，2000，16（9）：5-8.

[5]Thompson G M，Golding R D. Pipeline Leak Detection Using Volatile Tracers[J]. Astm Special Technical Publication，1993（1161）：6.

[6]于东升，宋汉成. 油气管道悬空沉降变形失效评估[J]. 油气储运，2012，31（9）：670-673.

[7]Ahammed M，Melchers R E. Reliability estimation of pressurized pipelines subject to localized corrosion defects[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping，1996，69（3）：267-272.

[8]Caleyo F，González J L，Hallen J. M. A Study on the reliability assessment methodology for pipelines with active corrosion defects[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping，2002，79（1）：77-86.

[9]张鹏，彭杨. 考虑随机变量相关性的腐蚀管道失效概率[J]. 石油学报，2016，37（10）：1293-1301.

[10]Rao S S，Berke L. Analysis of Uncertain Structural Systems Using Interval Analysis[J]. Aiaa Journal，2012，35（4）：727-735.

[11]杨笛，邱志平. 区间分析在结构可靠性中的应用研究[C]. 中国力学学会学术大会'2005论文摘要集（下），2005.

[12]Ben-Haim Y，Elishakoff I. Convex models of uncertainty in applied mechanics[M]. Amsterdam：Elsevier Science Publisher，1990.

[13]Elishakoff I，Elisseeff P，Glegg S A L. Nonprobabilistic, convex-theoretic modeling of scatter in material properties[J]. Aiaa Journal，2012，32（4）：843-849.

[14]张鹏，王艺环，秦国晋. 非随机过程的地震激励下埋地压力管道的非概率可靠性分析[J]. 中国安全生产科学技术，2018，14（6）：134-141.

[15]邱志平. 非概率集合理论凸方法及其应用[M]. 北京：国防工业出版社，2005.

[16]乔心州，仇原鹰，孔宪光. 一种基于椭球凸集的结构非概率可靠性模型[J]. 工程力学，2009，26（11）：203-208.

[17]Pantelides C P，Ganzerli S. Design of Trusses under Uncertain Loads Using Convex Models[J]. Journal of Structural Engineering，1998，124（124）：318-329.

[18]Ganzerli S，Pantelides C. Load and resistance convex models for optimum design. Structural Optimization，1999，17（4）：259-268.

[19]李桂青. 工程结构时变可靠度理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2001.

[20]姚继涛，赵国藩，浦聿修. 结构抗力的独立增量过程概率模型[C]. 中国土木工程学会年会，2000.

[21]王丕东，张建国，阚琳洁，等. 基于时变区间和穿阈模型的机械时变可靠性分析方法[J]. 机械工程学报，2017，53（11）：1-9.

[22]张俊芝，苏小卒. 基于实测样本值和Bayesian方法的服役结构抗力随机时变模型[J]. 工业建筑，2005，35（3）：30-32.

[23]张鹏，龙会成，李志翔，等. 黄土湿陷过程下埋地油气管道力学行为有限元模拟[J]. 中国安全生产科学技术，2017，13（5）：48-55.

[24]王同涛，闫相祯，杨秀娟，等. 基于弹塑性地基模型的湿陷性黄土地段悬空管道受力分析[J]. 中国石油大学学报：自然科学版，2010，34（4）：113-118.

[25]American Society for Mechanical Engineers. ASME B31G-2009，Manual for determining the remaining strength of corroded pipelines[S]. New York：ASME，2009.

[26]Teixeira A P，Soares C G，Netto T A, et al. Reliability of pipelines with corrosion defects[J]. International Journal of Pressure Vessels & Piping，2008，85（4）：228-237.

[27]姚继涛，赵国藩，浦聿修. 结构抗力的独立增量过程概率模型[C]. 中国土木工程学会年会，2000.

[28]毕仁贵. 考虑相关性的不确定凸集模型与非概率可靠性分析方法[D]. 长沙：湖南大学，2015.

[29]Ni B Y，Jiang C，Huang Z L. Discussions on non-probabilistic convex modelling for uncertain problems[J]. Applied Mathematical Modelling，2018（59）：54-85.

[30]王彬，姜潮. 考虑相关性的证据理论结构可靠性分析方法[J]. 机械科学与技术，2014，33（9）：1324-1328.

[31]李桂青. 工程结构时变可靠度理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2001.

[32]GB 50068－2001，建筑结构可靠度设计统一标准[S].

[33]邱志平. 非概率集合理论凸方法及其应用[M]. 北京：国防工业出版社，1900.

[34]曾照辉，刘扬，全昌彪，等. 一种基于响应面法的动力涡轮轴强度可靠性分析计算方法[J]. 机械，2017（5）：30-32.

[35]陈才方. 水毁灾害作用下腐蚀缺陷管道的力学行为分析与可靠性模型研究[D]. 成都：西南石油大学，2017.

Non-probabilistic and Time-varying Reliability Analysis of Suspended Pipeline with Corrosion Defects Considering the Correlation of Multiple Variables

WANG Yihuan1，XIAN Guodong2，LIU Siming3

( 1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China; 2.PetroChina Southwest Pipeline Corporation,Chengdu 610000, China; 3.School of Civil Engineering and Architecture, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China )

Considering that small sample data in pipeline engineering, it is difficult to obtain accurate probability distribution and collect data which requires a large amount of cost. In addition, affecting the mutual influence of uncertain factors, it is proposed to use non-probability set theory convex method as the theoretical basis when studying its reliability. Considering the objective characteristics of structural resistance decay with time and the time-varying reliability analysis based on random process requires a large amount of data, the decay and corrosion of time-dependent growth due to the effect of time are proposed. Combined with the model, the ultimate suspended length formula of the suspended pipeline with corrosion defects, the time-varying limit state equation considering the corrosion-defective suspended pipeline is established. And the non-probabilistic time-varying reliability is analyzed. It can be used as the corrosion vacancy based on random process theory. Above all, it provides a theoretical basis for the maintenance of buried oil and gas pipelines.

suspended pipeline with corrosion；ellipsoid model；correlation of corrosion；small sample；non-probabilistic reliability

TE973

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.09.003

1006－0316 (2018) 09－0011－10

2018－07－02

国家自然科学基金项目（50974105）；中国工程院重大咨询研究项目（2011-ZD-20）；高等学校博士学科点专项科研基金（20105121110003）

王艺环（1993－），女，四川资阳人，博士研究生，主要研究方向为油气管道可靠性。