电磁轴承支承下轴系转子模态及振动响应分析

任正义，周元伟，黄同，祝传钰，刘子晗



电磁轴承支承下轴系转子模态及振动响应分析

任正义1，周元伟2，黄同2，祝传钰2，刘子晗2

（1.哈尔滨工程大学 工程训练国家级实验教学示范中心，黑龙江 哈尔滨 150001； 2.哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001）

为得到电磁轴承支撑下轴系转子的模态频率分布位置及不平衡振动响应规律，以600 Wh飞轮储能系统为研究对象，采用控制变量法分析磁轴承刚度与阻尼随控制参数的变化规律，进而确定电磁轴承支承的边界条件。以此建立轴系转子的有限元模型，利用ANSYS软件缩减阻尼法求取轴系固有频率点及振型；而后以转子不平衡量为体载荷，通过谐响应分析方法得到轴系的稳态不平衡响应曲线，分析其规律。最后进行系统充电实验。研究表明：轴系的固有频率分布在工作转速区域之外；在质量不平衡作用下轴系的位移响应随激振频了升高而降低；实验结果与前述分析基本一致，说明研究方法有效可行。

轴系转子；模态分析；谐响应分析；充电实验

人类社会的高速发展带来了全球性的能源紧张问题，储能飞轮系统因其储能性能良好、能量转换率高以及对环境友好无污染等众多优势逐渐成为国内外工程学术界的研究热点，其已逐步应用于改善太阳能、风能的存储，航空航天器材的能量供应，区域电力质量的优化与电网峰谷调节，新能源油电混动汽车，不间断电源（UPS）等多个能源有效利用方面[1]。

飞轮储能系统是一种采用绕定轴旋转的飞轮装置把输入的外网电能转变成机械能形式储存并能再次还原成电能用以输出的装置[2]。其中有关轴系固有频率分布及振动响应问题是开展研究的基础同时也是问题的核心。飞轮转子为适应储能量的要求通常体积较大、转速较高，若不能对其运行状态下的力学特性做全面的掌握则通常会带来一系列安全隐患。

欧美等发达国家于二十世纪五十年代附近开始有关飞轮储能领域的研究，而国内方面则是在二十世纪末开始相关探索。在本文所讨论的轴系固有频率求解以及相关振动响应方面，学术界普遍采用传递矩阵、有限元等经典算法，同时应用其相关改进算法。其中利用ANSYS进行轴系转子的模态以及谐响应分析是一种能够在充分考虑复杂转子模型的同时又具有较高计算精度的方法。

王永亮等提出转子系统的相似准则，并利用ANSYS分别对单盘、多盘转子进行有关临界转速的相似性论证[3]。李松生分析了主动磁轴承线性支撑刚度；并依据有限元法进行了有关电动机轴系固有频率分布的求解[4]。缪红燕等利用有限元方法依托Jeffcott转子模型进行不平衡响应相关研究[5]。李聪等对刚性离心机转子进行响应分析，得出动平衡依据[6]。瓮雷考虑陀螺效应对经典转子模型进行模态及响应求解，得到不平衡力大小的影响关系[7]。

然而以上这些研究大多停留在对经典模型的理论分析上面，其研究对象大多为Jeffcott经典转子或是长轴转子实验平台，缺乏对真实的具有复杂结构转子的特性分析；对于转子的振动响应分析也大多集中在研究不同激励大小时系统响应的变化规律上面，并没有探究激励力的来源及其具体真实的影响。纵观整个发展过程，国内研究仍相对落后，研究模型相对简单而理论研究也缺乏数据支撑。基于此，以600Wh飞轮储能系统样机为研究对象，考虑实际转子的复杂结构及装配条进行实体有限元建模，对轴系转子进行模态求解以及谐响应分析，并通过样机实验现象对分析结果作出验证。

1 系统结构组成

课题组自行研制的600Wh飞轮储能装置的典型结构包含轴系飞轮转子、磁悬浮支承系统、电动/发电一体机设备、控制回路系统、基座支撑部分等几大模块[8]。二维剖面如图1所示。

图1 储能飞轮整体结构布局图

工作时，系统通过电机驱动器与电网相连，电发一体机带动轴系转子旋转升速，降速时则被其带动，以此实现能量的转化过程。整个轴系转子在主动电磁轴承支撑条件下实现无接触悬浮。采用电磁轴承形式是系统实现高转速、主动控制以及减小能量耗损的关键。磁轴承支承参数对转子的动力学特性有至关重要的影响，因此为建立轴系转子的有限元模型，必须要明确其支承特性条件，这是求解转子固有频率分布及振动响应问题的前提基础。

2 系统动力学模型及相关分析理论

2.1 电磁轴承支撑边界条件明确及模型建立

样机电磁轴承本体结构形式如图2所示。采用八磁极形式，两个相互构成一对。轴承工作时可在被控转子、气隙以及轴承定子之间形成闭合磁路，继而产生电磁力控制转子行为。

考虑控制回路参数与系统振动方程，可得电磁轴承系统等效刚度与阻尼的表达式为：

式中：k＝-1.44×106N/mm，为位移刚度系数；k＝174 N/A，为电流刚度系数；K＝0.01 A/V，为功放增益；K＝2.2 V/mm，为涡流传感器增益；K＝0.001，为积分系数；K＝0.002，为微分系数；K＝0.006，为比例系数；T＝10-4s，为控制器之后时间常数。

依据式（1）关系，图3给出采用控制变量法得到的磁轴承等效刚度与阻尼随控制参数变化的规律曲线。

在最大工作转速一定的条件下，样机电磁轴承支承特性与控制参数有关并在一定范围内可实现主动调节，具体边界区间为刚度0～1.7×107N/m、阻尼0～2.2×104Ns/m，如图3。

图2 磁轴承本体设计

图3 不同控制参数引起的刚度和阻尼特性变化曲线

分析图3还可得到控制参数对等效刚度和阻尼影响规律：等效刚度随K、K的增大而增大；等效阻尼随K增大而减小、随K的增大而增大；而K对刚度和阻尼的影响并不明显[9]。

建立空间五自由度轴系转子动力学模型如图4所示，轴系转子的几何中心点也是坐标原点。

式中：为质心，m；F、F为径向电磁力，N，其中1x、1x代表上轴承，2x、2x表示下轴承；M、M为平面、平面上的力矩，N·m；1、2为上、下轴承与的距离，m；1、2为上、下轴承等效刚度，N·m；1、2为上、下轴承等效阻尼，N·s/m；J为极转动惯量，kg·m2；J为赤道转动惯量，kg·m2。

图4 刚性转子的模型

2.2 模态求解及谐响应分析理论

模态分析是一种可在研究对象自由振动条件下分析其线性振动特性的技术，其分析结果包括结构的各阶模态特有的振动频率以及相应振型[10]。系统振动模态是结构的固有特性，采用模态分析方法计算轴系转子固有频率分布情况即是对其进行模态提取过程。其分析原理是对无阻尼系统进行特征值求解，结构自由振动方程为：

可得：

式中：为固有频率，其平方项是式(4)的特征值，特征向量为其所对应的振型。

谐响应分析是一种针对于可线性化结构在承受随时间变量呈简谐规律变化的体载荷时的振动响应研究的分析方法。通过计算研究对象在多重频率下的响应值来绘制频率－响应曲线，以此预估系统结构的持续动力性能。可验证系统结构疲劳、共振及相关振动情况。谐响应分析以简谐载荷为输入，其形式包含力、位移及加速度多种，输出响应位移及其相关值。谐响应计算分析忽略结构中的非线性部分以及施加载荷瞬间的响应[11]。其本质是对结构受迫振动方程的求解。物体受迫振动方程为：

式中：为阻尼矩阵；()为力矢量阵；0为力载荷幅值。

3 轴系模态分析

应用ANSYS WorkBench对轴系转子系统的模态求解过程，可分为模型建立、分析类型与参数设立、施加载荷与边界条件并求解及结果评价分析四个过程。首先在SolidWorks中完成轴系转子三维实体模型建立（图5），并对各部件按相互关系完成装配，利用WorkBench联合仿真接口导入完成模型建立工作。

图5 轴系转子三维模型

完成轴系各部件的物理参数设置，进行轴系转子网格划分，如图6所示。并添加边界条件，以Body-Ground选项卡中Spring弹簧单元模拟电磁轴承支承条件。根据控制系统参数设定弹簧单元的刚度为1 MN/m、阻尼系数为1 kNs/m。求取模态数目为10，在转子动力学控制选项中打开科里奥利效应，设置8阶速度节点，绘制系统的Campbell图，如图7所示。

图6 转子模型网格划分

图7 轴系转子Campbell图

图7中曲线为转子涡动频率随转速的变化曲线，过原点且斜率为1直线与其他曲线交点为临界转速点，即容易发生共振的不稳定转速。

运行求解程序得到轴系转子的前四阶固有频率为：29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz。系统设计工作转速区间为5000～15000 r/min，处于轴系转子二、三阶固有频率之间且距两端均有一定距离，满足设计要求，能有效规避共振风险。各阶振型云图及坎贝尔图形如图8所示。

分析振型云图可知系统一阶振型表现为圆盘转子处的振动幅值高，其振幅沿主轴方向随距离中心飞轮的距离增加而减小。即总体表现为轴系中部飞轮处的振动幅值大而两端幅值小，这称为转子的一阶平动振型。

转子二阶固有频率振型表现为两端的振动幅值较大而飞轮处的振动幅值较小，且飞轮转子各部位变形差距较大，此时对应系统的二阶锥动振型。对于本立式结构轴系转子，此时转子形态表现为主轴倾斜、质心位置发生偏移。由于转速更高，不平衡产生的离心力也更大，转子的摆动更加强烈。因此升速过程中，转子能否安全稳定地越过系统第二阶固有频率区域是轴系结构以及控制系统设计的关键考量。

图8 轴系转子的前四阶振型云图

轴系前两阶振型图中转子并未出现大规模弯曲，仍能近似保持刚性转子的特性，而系统的第三、第四阶振型表明系统会因刚性不足发生弯曲，此时的振型为弯曲振型，轴系结构已经破坏，无法完成既定工作。通过前述计算分析可知系统三阶固有频率为456.81 Hz，已远远超出了系统的设计工作转速范围，故三、四阶固有频率对轴系的影响可忽略，此处不做研究。

4 轴系谐响应分析

4.1 轴系不平衡量计算

以ANSYS谐响应分析来计算轴系转子的不平衡响应，首先必须明确载荷的具体形式，即不平衡量的大小及分布。然而真实的轴系转子结构较为复杂、存在多种工艺误差，这就造成其质量分布规律未知且难以测量。因此为研究开展，此处在轴系有限元模型上添加偏心质量模拟轴系不平衡，以动平衡精度为依据计算不平衡量的许用值及偏心距。并以此为载荷进行谐响应分析。

根据动平衡精度理论，有：

式中：为轴系总质量；m为允许不平衡量；为动平衡精度；为轴系校正半径；为转子转速。

代入600 Wh储能飞轮轴系转子设计参数：动平衡精度2.5、设计最高工作转速15000 r/min、轴系转子总质量为54 kg、校正半径180 mm，可得转子的最大剩余不平衡质量为0.24 g，偏心距为1.59 μm。

轴系转子因质量偏心所产生的力为：

式中：为不平衡质量；为偏心距。

离心力在转子轴截面两相互垂直的方向、上的投影分别为：

式（8）表明轴系转子因质量不平衡产生的激振干扰力可近似为作用在其某一轴截面上两垂直方向的简谐力F和F的合成，二者幅值相等，相位相差90°。因此可利用谐响应分析方法来计算分析轴系转子的质量不平衡响应，以两个呈简谐规律变化的分载荷来表示不平衡质量所产生的离心力。以此得到轴系振幅－频率响应曲线。考虑最大工作转速15000 r/min，于是载荷幅值为0.001 N可依此施加载荷F、F求得轴系转子的谐响应。

4.2 轴系转子谐响应分析

利用WorkBench模态叠加法进行谐响应求解分析的主要流程为：创立谐响应分析模块并建立有限元模型、获取模态解及其振型、加载谐响应载荷、模态叠加谐响应分析求解以及查看结果与后处理[12]。设定频率求解范围为0～250 Hz，运算次数为“500”，即每次求解间隔0.5 Hz。在轴系飞轮转子轴截面中的两个垂直方向上添加简谐激振力，其幅值为0.001 N，相位分别为0°和90°。

分别取飞轮、上、下轴承处为响应面，以位移响应的最大值为纵坐标、以激振频率为横坐标，得到谐响应仿真曲线如图9所示。

分析位移响应－频率曲线可发现：轴系转子响应曲线在激振力频率29.5 Hz和56.5 Hz处明显出现两个波峰，刚好对应系统前两阶固有频率分布位置。此时系统发生共振，响应幅值骤增。这符合系统的动力学特性，证明对系统固有频率计算的准确性。由于此时不平衡振动响应剧烈，系统面临安全隐患，应避免工作转速接近这一区域，而在升速充电过程中则应快速通过这一振动带。

激振在轴系转子三个重要位置处引起的响应基本一致，飞轮处略大，在29.5 Hz时达到峰值0.25 μm。系统在第一阶固有频率附近的响应幅值要大于第二阶固有频率附近，说明在激振力幅值大小相同的条件下，转子运行于一阶固有频率区间时振动响应较大。谐响应曲线在越过前两阶固有频率后表现出随激振力频率的提升而下降的趋势，即由不平衡力引起的干扰振动随频率的提升而衰减。此时进入系统工作转速区间，其稳定性裕度也逐步提高。由于因质量不平衡而引起的激振力的频率与转子转速成正比，所以图9也可定性地表明系统在升速过程中的振动响应趋势。

上述分析以在动平衡精度2.5条件下的算得的最大许用不平衡量处于最大工作转速运转时产生的不平衡力为载荷，响应曲线表明在其作用下轴系转子的位移响应幅值为10-7m数量级，极其微小，说明轴系的运行稳定性良好，轴承转子与定子之间不会发生碰撞。研究所采用的载荷为因质量不平衡引起的峰值，实际运行过程中转子该不平衡离心力为转速的函数，时刻小于峰值。这确保了转子的不平衡响应在允许范围内，说明所设计系统结构具有良好的稳定性裕度。

5 实验分析验证

为验证前文得出的轴系转子的固有频率分布位置及振动响应规律，进行600Wh飞轮储能系统充电升速实验。通过布置在轴系转子周围的位移传感器来实时监控轴系振动的变化情况。实验方案及实体图如图10、图11所示。

图9 谐响应曲线

图10 实验方案原理图

图11 实验样机实体图

如图12所示，实时观测示波器上振动信号波形发现：静态悬浮时，轴系转子无径向的振动位移，波形保持为一条直线。启动加速后，波形开始显现简谐规律。当转速在1900 r/min以及3500 r/min附近时波形急剧变化，出现波动紊乱、振动加剧表现，说明该转速可能为轴系固有频率分布位置。系统通过相关区域后波形明显回稳并再无加剧趋势，转速达到8000 r/min以上时波形已几乎接近直线，这说明转子达到了相对的稳定状态。振动波形的整体变化趋势与振动谐响应分析相吻合，工作区域内转子的运行稳定性随转速提升而增加。实验结果证明了前文模态求解及谐响应分析方法的有效性与合理性。

6 结论

本文以确定电磁轴承的支撑条件为前提，运用联合仿真建立了600Wh飞轮储能系统轴系转子有限元模型，进而求解了轴系转子的模态频率及振型，分析其在谐载荷作用下的振动响应规律，同时进行了系统升速实验。得到以下分析结论：

（1）轴系转子的电磁轴承支承特性随控制参数改变，等效刚度特性随K、K的增大而增加；阻尼特性随K的增大而减小、随K的增大而增大；K对二者影响不明显；且等效刚度与阻尼在固定范围内可实现主动调节，其边界条件分别是0～107N/m、0～104Ns/m。

（2）600Wh样机轴系转子的模态频率分别为29.473 Hz、55.982 Hz、456.81 Hz和625.89 Hz，工作转速不在固有频率区间内，可有效避免系统发生共振。

（3）在轴系转子不平衡量作用下，当激振频率达到29.5 Hz及56.5 Hz时轴系会发生共振，位移响应幅值达到0.25 μm。当激振频率超过前两阶固有频率并处于工作转速区间时，整体位移响应曲线将表现为快速衰减趋势，此时激振频率越高，响应幅值越小，系统具有良好的动态特性。

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Analysis of Rotor Modal and Vibration Response of Shaft System Supported by Electromagnetic Bearings

REN Zhengyi1，ZHOU Yuanwei2，HUANG Tong2，ZHU Chuanxi2，LIU Zixi2

( 1.Engineering Training Center, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2.College of Mechanical and Electrical, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China )

In order to obtain the modal frequency distribution and unbalanced vibration response of the shaft rotor supported by electromagnetic bearing, take the 600Wh flywheel energy storage system as the research object, using the control variable method to analyze the variation law of the stiffness and damping of the magnetic bearing with the control parameters. Then determine the boundary conditions of electromagnetic bearing support. In this paper, the finite element model of the shaft rotor is established, and the natural frequency point and vibration mode of the shaft are obtained by ANSYS software. The static imbalance response curve of the shaft system is obtained by the harmonic response analysis method. Finally, the system charge experimentis carried out. The research indicates that the natural frequency of shaft is located outside the working speed area. and the displacement response of the shafting system under the unbalance of mass is decreased with the increase of excitation frequency. The experimental results are consistent with the previous analysis, which shows that the research method is feasible.

rotor shaft；modal analysis；harmonic response analysis；charging experiment

TH133.3；O313.7

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.09.004

1006－0316 (2018) 09－0020－09

2018－04－12

国家高科技发展计划（863计划）资助项目（2013AA050802）

任正义（1962－），男，黑龙江哈尔滨人，博士研究生，教授、博士生导师，主要研究方向为舰船声隐身技术和飞轮储能技术集成研究。

通讯作者：周元伟（1989－），男，山东日照人，硕士研究生，主要研究方向为飞轮惯性储能关键技术。