高职“逻辑函数化简”教学手记

【摘要】高职院校逻辑函数化简的教学，是个难点。如果在教学中注意循循善诱，引导学生积极参与适时总结，将会收到满意的教学效果。

【关键词】常用运算律；一题多解；卡诺图

逻辑函数化简的意义是节省集成电路数目，焊接点减少，还可大大提高电路的可靠性。

在实际问题中，往往首先将电路化简成最简与或式，用代数法化简的过程中，还常用到普通代数的提取公因式法、分组法、去括号法等，有时还根据需要利用公式进行添加项后，再进行分组化简。在逻辑运算基本公式中，我们应当牢记以下几个常用结论。

①零律1+A=1，O·A=O。

②幂等律A+A=A，A·A=A。

③排中律和矛盾律。

④D·摩根律。

⑤两个吸收律A+AB=A+B，AB+AC+BC=AB+AC。

例化简F=AB+C+ACD+BCD

解一F=AB+C+C（A+B）D（提取公因式）

=AB+C+（A+B）D（吸收律）

=AB+ABD+C（反演律）

=AB+D+C（吸收律）

解二F=（AB+ACD+BCD）+BCD+C（吸收律）

=AB+CD+C（提取公因式）

=AB+D+C（吸收律）

解三F=AB+（C+ACD）+（C+BCD）

=AB+C+AD+C+BD（吸收律）

=（AB+AD+BD）+C+BD（吸收律）

=AB+AD+D+C（提取公因式）

=AB+D+C（提取公因式）

由上述例题看出，代数法化简逻辑函数，既需要牢记一些公式，又带有技巧性，掌握起来比较困难，但作为数字电路化简的一个基本工具，还是应该掌握一些常用的代数化简法。对多变量函数的化简，相对代数化简法，卡诺图法要容易得多。

我们知道，凡两个逻辑相邻项可合并成一项，按照这个规律，可以把逻辑函数中的各个最小项用图形表示出来，这种图就叫卡诺图。需要强调的是，为了符合相邻原则，两个逻辑变元（或其否定）的乘积的排列顺序必须是00、01、11、10，这样排列就保证了纵横相邻小方格里的最小项都是相邻的。

因为卡诺图的每一个小方格都唯一地对应一个最小项，所以要用卡诺图来表示某逻辑函数，应该先将函数表达式化成最小项之和（主析取范式）。這比较麻烦。如果函数表达式已经是析取范式，则可以快速填写卡诺图。

例填写函数F=A·B+AC+BC+B·C·D的卡诺图。

解由变量及知道，这是一个四变元函数。

由第一项A·B知道，它与C、D无关，可以写作A·Bxx，在对应A·B=00的所有小格内（第一行四个小方格）填入1。由第二项AC知道，它与B、D无关，可以写作A×c×，即在所有既符合A=1又符合C=1的格内填入1即可，即在下边两行（11、10行）符合A=1，右边两列（11、10列）符合C=1，因而应在右下角这两行和两列交叉的四个格内填入1。

由第三项BC知道，它与A、D无关，可以写作×BC×，在既符合B=1（01、11两行）又符合C=1（11、10两列）的交叉方格内填入1即可。由第四项B·C·D知道，它与A无关，可以写作×B·C·D，在卡诺图中0000格和1000格内填入1即可。至此可得到函数F的卡诺图。剩下未填入1的格内应为。，这里省去是为了使卡诺图更加清晰。

用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：

①确定变元的个数，画出相应的卡诺图，并把函数F表达式中的相应项填入1，其余小方格内填入。或者省去不填。

②对卡诺图中有“1”的方格画相邻区域圈，画圈时要按2、4、8、16格为单位，遵循的原则是：圈越大越好，这样各与项中所含变元就越少；圈的总数越少越好，与项的项数就越少。

③将每个圈中的公有变元因子找出来，得到对应的“与”项，并把各个圈得到的与项相加（或）起来，便得到化简后的最简与或表达式（主析取范式）。

具体操作时，要特别注意四角相邻、左列与右列相邻、顶行与底行相邻。首先将与其他任何“1”方格都不相邻的孤立“1”方格单独圈出来；其次找出那些仅与另一个“1”方格唯一相邻的"1”方格，将它们两两相圈组成含有两个“1”方格的相邻区域；最后，再依次将含有四个“1”方格、八个“1”方格的相邻区域画出来。

在画相邻区域时，有些“1”方格可以被多个圈公用，这种区域间的重叠现象是允许的，但每个圈中必须含有至少一个新“1”，即别的圈中都未包含进去的1。这样做，就可以避免在化简后的函数中出现多余项，使化简后的与或表达式为最简形式（主析取范式）。 例化简F=∑（0，1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14）

解这是个四变元函数，其卡诺图如图所示。可画出三个圈分别如图（a）、（b）、（c）所示，仔细检查，每个圈中都包含有至少一个其他两个圈未包括进去的新1，故没有多余的圈。

图（a）圈中八个最小项的公共部分为D；图（b）圈中八个最小项的公共部分为C；图（c）圈中八个最小项的公共部分为B，因而该函数化简结果为F=B+C+D。

参考文献：

[1]王信峰.计算机数学基础[M].高等教育出版社，2009.

[2]许智勇.如何让高职数学课生动起来[J].河南教育旬刊，2011（6）.