例谈与数列有关的综合问题的解题技巧

江苏省昆山第一中等专业学校 徐 义

通过对近几年的数学高考题目进行一定的观察和总结，发现有关数列的题目出现频率比较高，不仅仅和函数、不等式等数与代数的部分相结合，有时还涉及三角形、立体几何等图形方面的知识。数列是一种比较特殊的函数，需要教师熟练掌握相关概念，联想题目的特征，联想自身做题经验，找到解题方向，提高做题的效率。

数列就是按照一定的排序方式排列的一列数字，数列中每一个数都是这个数列的项。数列也是一定定义域为正整数集的函数，而且数列所对应的数列通项公式也就是其函数的解析式。对于高中生来说，数列的学习是一个重要部分，其中蕴含着多种多样的数学思想和数学方法，数列中涉及的问题也比较考查学生的归纳能力和逻辑能力，反映了学生对数列学习的深度，表现着学生的技巧性，所以数列的相关内容经常出现在每年的高考题目中，成为一道必考题。数列作为特殊函数，在实际中也有广泛的应用，比如银行的信贷、养老保险等，这就需要学生不仅仅能够熟练掌握有关数列的相关问题，还要能够善于观察题目的特点，结合原有解题经验，迅速锁定解题的方向，提高解题的效率。下文笔者就将针对数列题目来归纳一般的解题方式和思路。

一、与不等式知识结合

在不等式和数列结合的题目中，主要考查的是数列的定义和等差数列的定义，题目上一般是已知Sn求an的基本题目，其中涉及的数学思想和数学方法为归纳法或者是利用放缩法去证明不等式。

比如题目：已知数列{an}，其中a=a1，b=b1，正整数m，n，p，q 满足等式m+n=p+q，而且如果求数列{an}的通项公式。

解答这道题，首先要明确这道题考查的内容，出现了不等式，所以说明是不等式和数列相结合，对数列定义熟悉，并进行巧妙化解的题型。需要求通项公式，此题跟通项公式唯一相关的是条件所以可以将公式中涉及的m，n，p，q 利用数字1，2 表达出来，经过处理，得到从而得到题目中已知的代入公式，并进行化简可以得到通过仔细观察，再联想等差、等比数列的定义，可以化解得到观察并且结合等比数列的定义可以知道：数列为等比数列，所以得出结论到化简得出将结果进行验证，可以知道满足题意。

二、与函数知识相结合

数列与函数知识结合主要是为了考查学生对数列定义的熟悉程度，其中一般会涉及已知Sn求an的基本题目，引导学生利用函数的解题方式来构建几者之间的函数关系模型，并且利用函数的相关性质和定理来解决相关的问题。这样的问题结合了数列和函数的知识，考查学生对知识的综合应用能力。

比如题目：已知数列{an}为等比数列，设其前n 项和为Sn，对任意的n 来说，点（n，Sn）都在函数的图像上，这个函数的解析式为y=bx+r，其中，b＞0 但是b ≠1，b 和r 都是常数。（1）求其中r 的值。（2）当b=2 时，求数列{bn}的前n 项和Tn，bn记为,其中n 属于。

在这道题的解答中，题目中出现r 的地方只有条件：点（n，Sn）在函数y=bx+r 的图像上，所以满足Sn=bx+r，当n 为1 时，S1=b+r=a1。当n ≥2 时，an=Sn-Sn-1=bn+r-（bn-1+r），进一步化简得an=（b-1）bn-1。由于该数列{bn}为等比数列，所以解得r=-1，公比是b，所以代入原式得an=（b-1）bn-1。在第二问中，已知b=2，所以可以得出数列an=（b-1）bn-1=2n-1，化简得：所以数列{bn}的前n 项和学生发现可以利用前n 项和的二分之一倍数相减来化简该公式，通过相减得出

这种函数和数列相结合的题目在高考中考到的几率比较大，学生应该多多掌握求出前n 项和的各种方式，比如通过相加、相减或者相乘的方式来化简，从而提高解题的效率。

三、与最值、极限相结合

数列和最值结合的题目主要就是考查学生对不等式和最值定义性质、数列性质等知识的掌握，大多数题目都会给出Sn和an之间的关系，并且要求出相应的通项公式，然后再构造出一个不等式来使之恒成立，其中涉及某个未知数的值，一般会要求学生求出未知数的最大值或者最小值。

对于数列和极限知识结合的题目，一般考查学生对数列性质和定义、极限定义的了解。首先题目都会给出相应数列的性质，等差或者等比，告诉公差或公比，给出某一项的具体值，再给出某个构造函数的极限值，最后求出其构造函数其中的一个未知数。这样的问题需要学生化简，然后再代入式子求出未知数。

综上所述，数列的相关题目类型是数不胜数的，而且利用题目条件求出数列的通项公式的方法也灵活多变，需要学生对题目进行一定的加工和处理，转化为等差数列和等比数列进行解决。在高考的题目中，经常会将极限、导数和函数等知识和数列结合在一起，一般常见的题型有：（1）将数列和其他函数或者导数等知识交汇，考查学生恒等变形、推理等能力；（2）给出Sn和an的关系，求出通项公式，考查学生转化的数学思想；（3）以解析几何知识作为载体，定义新数列，考查学生的知识综合能力和迁移能力。数列对学生来说是学习的重点和难点，所以学生要积极对数列相关问题进行归纳总结，提高解题效率和能力。