聚焦系统抽样与分层抽样

■周瑜芽

统计中的抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，而系统抽样与分层抽样是各级各类考试中最常考的抽样方法。解答相关问题的关键是准确理解系统抽样与分层抽样的含义，弄清它们之间的区别与联系，灵活选择恰当的抽样方法抽取样本。这类题一般难度都不大，但我们仍应多加重视，以免造成失分。

1.系统抽样的概念与性质问题

在系统抽样中，对总体中的个体进行编号是随机的，同时在第一段中确定的起始的个体编号也是用简单随机抽样的方法确定的，当总体中的个体数不能被样本容量整除时，也是用简单随机抽样的方法从总体中剔除若干个体的，整体过程都具有随机性。

例1每年的9月20日为“全国爱牙日”。为了了解学生牙齿的健康状况，某高中采用系统抽样的方法，从该校高二年级全体900名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查。现将900名学生从1到900进行编号，在1～18中随机抽取一个数，如果抽到的是8，则从91～108这18个数中应抽取的数是（ ）。

A．96 B．97

C．98 D．99

解：系统抽样的特征之一是等距抽样，即抽取的样本的编号之间的距离是相等的。依题意得分段间隔，由系统抽样的定义知，第k组抽取的号数为nk=8+18（k—1）=18k—10，k∈N*，显然当k=6时，n6=98。故选C。

解决此类问题通常需要以下两步：第一步，分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本；第二步，起始编号的确定应使用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定。

2.分层抽样的概念与性质问题

使用分层抽样的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占的比例抽取。分层抽样时要求对总体的内容有一定了解，明确分层的界限和数目，只要分层恰当，一般来说抽样结果比简单随机抽样更能反映总体情况。

例2某地区有高中生12000人，初中生10000人，小学生13000人，某调研机构为了了解学生的学习成绩与网络课程学习方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取1%的学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）。

A．抽签法

B．随机数法

C．系统抽样法

D．分层抽样法

解：因为抽取样本的目的与各学段的学生有关，所以从全体学生中抽取1%应使用分层抽样法，按各学段学生所占的比例抽取。故选D。

本题抽取样本的目的符合分层抽样的概念与性质，将总体分成几层，按各层个体数在总体中所占的比例抽取，抽取的样本有较强的代表性。

3.系统抽样的基本计算问题

系统抽样抽取多少个个体就需要将总体均分成多少段，不要把分段间隔与分组组数混淆。根据容量的大小来确定分段间隔或根据分段间隔来确定容量的大小是比较常见的问题。

例3某校为了了解1500名学生对高考英语改革方案的意见，打算从中抽取一个容量为50的样本，考虑用系统抽样方法，则分段间隔k为（ ）。

A．75 B．30

C．20 D．15

解：根据各选项中分段间隔k的不同取值，分析讨论每段中应抽取的人数。若分段间隔为75，则分成20段，每段抽取人；若分段间隔为30，则分成50段，每段抽取1人；若分段间隔为20，则分成75段，每段抽取人；若分段间隔为15，则分成100段，每段抽取人。显然只有分段间隔为30时满足题意，故选B。或者，由1500÷50=30，可知选B。

根据选项中不同的分段间隔结合实际问题加以分析也是比较常用的解题方法。还可以利用对应的公式加以判断，即当（N是总 体个 数，n是样本容量）是整数时，取分段间隔为k=当不是整数时，取分段间隔为k=（取整数部分）。

4.分层抽样的基本计算问题

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下技巧：总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比，或者样本容量n:总体个数N=某层抽取的个数:该层的个体数。

例4用分层抽样的方法在一个企业中抽取一个样本容量为50的样本，其中管理营销部门抽取了15人，技术部门抽取了10人，其余在生产工人中抽取。已知该企业有生产工人375人，那么这个企业共有职工____人。

解：先根据条件算出在生产工人中抽取的样本个数，再根据分层抽样的特征，即生产工人与企业总职工的比和从生产工人中抽取的样本数与样本容量的比相等，可得抽取的样本中的生产工人有50—15—10=25（人）。那么这个企业共有职工人数为750，即这个企业共有职工750人。

解答与分层抽样有关的计算题的切入点是每个个体都是等可能入样，因此利用分层抽样时一定要注意按比例抽取，样本容量与总体个数的比值是分层抽样的比例常数，按照这个比例可以确定各层应抽取的个体数、各层原有的个体数等。

5.创新综合应用问题

系统抽样与分层抽样也是创新综合应用问题的一大阵地，这类问题通常根据系统抽样与分层抽样自身的概念与特点，巧妙地把相关知识加以融合，达到问题的创新与知识的综合的目的。

例5经问卷调查，某班学生对摄影分别执喜欢、不喜欢和一般三种态度，其中执一般态度的比执不喜欢态度的多12人。用分层抽样的方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的同学有6位执喜欢态度、1位执不喜欢态度和3位执一般态度，那么全班学生中喜欢摄影的比全班人数的一半还多____人。

解：根据题目条件可知，3位执一般态度对应1位执不喜欢态度，即执一般态度的人数是执不喜欢态度的人数的3倍，而他们的差为12人，故执一般态度的有18人，执不喜欢态度的有6人。又因为执喜欢态度的人数是执不喜欢态度的人数的6倍，可得执喜欢态度的有36人，所以全班共有18+6+36=60（人）。那么所求结果为6（人）。

正确分析与厘清题目条件是解决此类创新综合应用问题的关键。同时，还要根据分层抽样中各层之间的比例关系，结合具体的实际应用问题来确定相应各层之间的比例与数字关系，进而加以具体的分析与处理。