数形结合 难题不难

摘 要：素质教育注重学生全面发展，新课程改革强调能力培养，作为一门应用性极强的学科，高中数学教学的主要任务已不仅是学会书中的死知识，解决问题成为学习数学的主要目的，解决问题的根本在于思想方法的应用。数形结合思想贯穿整个高中数学，有效保障学生技能的训练和提升。本论文重点阐述数形结合在解决函数与方程有关问题时的应用启发，进而说明数形结合在处理填空压轴题时发挥重要作用，鼓励学生尝试突破所谓的“难题”，让难题不难。

关键词：数形结合；函数与方程；难点突破

恩格斯在《自然辩证法》中定义：数学是研究现实世界的量的关系和空间形式的科学。数学是研究数和形的科学，即“数形结合”是数学的本质特征。数学中的两大研究对象“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内因，数形结合则是贯穿数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛而深远。数学思想是数学的灵魂，是数学知识的高度概括，是学生解决问题的手段。数形结合是数学思想的精髓之一。

顾名思义，数形结合就是在研究問题时把“数”和“形”结合，以形助数，以数解形，复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学规律性和灵动性的有机统一。正确使用数形结合有三大原则：1. 等价性原则；即代数性质与几何性质的转换应是等价的。有时由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。能否保持信息转换等价，反映了数学素质。2. 双向性原则；既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算能克服几何直观的诸多局限性。几何问题的代数化是数学的一大进步。数形结合发现数与形的双重优越性，而不是一方取代一方。

3. 简单性原则；即找到解题思路后，用几何法还是代数法，或兼用两种方法，取决于何种方法更简单，更便于达到数学目的，而非生搬硬套一种流行模式。

近几年高考及各类综合卷填空靠后部分基本都会设置一道函数与方程相关问题，学生求解起来甚为艰涩，可以说填空12、13、14三题对相当一部分学生而言就是“放弃”，事实上真的是难到极致吗？归根结底还是学生自身在作祟，编排越后题越难，加之畏难情绪，解题技能不纯熟，最终导致得分率较低。如何在日常教学中渗透难点，试解难题是每位教师的职责。数形结合作为研究函数的重要手段，是找到解题突破口的一把利器，是一种实际而有效的方法。

上述例题让我们有这样的体会，图形有助于认识函数性质，直观发现函数的变化特征；图形会凸显问题解决的思路，找到分类的标准与方法；图形会显现位置关系，使一些隐含条件清晰，从而缩短解题途径。数形结合就是充分应用数的严谨性和形的直观性，将抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的描述、代数的论证来解决数学问题。

著名数学家华罗庚先生曾用诗歌阐述“数形结合”：数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。几何代数统一体，永远联系莫分离。一方面，借助于图形的性质，将许多抽象的数学概念和数量关系简单形象化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可获得准确的结论。“数”和“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探索数学问题开辟了一条重要途径。数是形的抽象概括，形是数的直观表现，辅助我们更快更好地解决问题，所谓的“压轴题”，实际上就是综合程度较高，若能把一个个零散的知识点剥离，逐个击破，那么压轴题就解决了，要做到这一点，关键在于提升数学素养，训练数学思维，还要用对用好数学方法。利用数形结合，多点练习，多点反思，难题不难。

参考文献：

[1]陈飞.数形结合在中学数学中的应用[J].价值工程，2013（22）.

[2]陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力[J].青年探索，2015（6）.

[3]祁连秋.数形结合思想对高中数学解题的影响[J].中学数学参考，2011（11）.

作者简介：凌佳丽，江苏省苏州市，江苏省苏州市吴江区平望中学。