“约数”vs“因数”

沈于芹

[摘 要]在数学中，对于某些概念，会使用不同的专有名词来描述，虽然这些专有名词指代的对象相同，意义也很接近，但传达的具体数学信息却存在差别，在关键时候，这些不同的叫法会带来不同的理解方式。

[关键词]整除;因数;概念;倍数;乘法;除法

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0069-01

自教材改编以来，关于“约数”和“因数”用法的争论一直未曾消停。反方观点认为，新教材改编得不妥，因为随意修改专有名词，会混淆视听、扰乱思维;正方观点认为，因为“因数”一词合并了“乘数”和“约数”两个概念，这样一改反倒减轻了学生的学习负担。双方各执一词，相持不下。教参上给出的解释是，“为了克服一个教学单元内概念扎堆出现的现象，新教材中对‘整除这一概念不再明确定义，并把旧教材中的‘约数改为‘因数，这样一来，派生约数概念的整除概念就可以不必出现。”那么，“约数”改为“因数”到底有无必要？

一、整除引申因数令人费解

在旧教材中，约数、因数和倍数这一系列的概念全部隶属于整除单元。教材首先揭示整除的概念：整数a除以整数b，所得的商数也为整数，没有余数，这时就称a能被b整除。如果整a能被整数b整除，此时，我们就说a是b的倍数，b是a的约数（或因数）。由此可见，约数是建立在整除概念基础上的。

在人教版新教材五年级下册第二章中，“因数和倍数”属于单元主标题，教材通过飞机航程的情境，用一个乘法算式“2[×]6=12”直接揭示因数和倍数的关系：12是2和6的倍数，2和6是12的因数。实际上，这是在暗示学生，被乘数和乘数是积的因数，积是被乘数和乘数的倍数。然后，教材还特别指出，为了便于描述和研究，讨论因数和倍数的时候，一般默认在整数范围内。

说到这里，事实已经很明确了，旧教材是从除法入手，先揭示什么是整除，然后在整除的概念下派生出约数;而新教材则是从乘法算式切题，直接陈述何为因数、何为倍数。既然两种方法都可行，在效果一样的前提下，用整除概念来引出“约数”逻辑程序相对烦琐，其间還要辨别“整除”和“除尽”的异同，以及在整数范围内的限定，无疑增大了学生的理解难度。两相对照，新教材的安排似乎更恰当。

二、抛开整除也能找全因数

有人说，新教材中“整除”“约数”这些专属名词的灭失导致数学学习脱离了传统经典。笔者认为，删减“整除”和“约数”这些学术性很强的名词之后，学生照样能学通“因数和倍数”这部分知识，说明这些专属名词已经失去了原有的价值。

那么，整除概念还该不该出现？新教材从乘法算式中揭示出因数、倍数的概念，删减了整除的讲授，这样一来，寻找某个数的因数时，学生进行的思维过程是回忆原数等于哪两个整数的乘积，那么所有的被乘数和乘数就都是原数的因数。原数较小时，因数比较容易找，一旦原数过大，寻找因数就很困难了，如果要列举全部因数更是难上加难，容易遗漏或重复。此时如果采用整除法定义来寻找因数，就十分便捷。学生可以用原数依次除以自然数1、2、3……若能被整除，那么除数和商就都是原数的因数，反之，就可以立即排除。

笔者认为，要想迅速找出一个数的所有因数，用乘法相对盲目，用除法才能做到简便、准确、有序。可是问题又来了，难道用除法来找因数，就必须提到“数的整除”这一复杂的概念吗？经过实践，笔者发现其实不讲整除，学生也能很好应用除法找因数。

三、要明辨因数的双重含义

有人问，如何准确把握“因数”概念？由于新教材里的“因数”具有双重含义，既可以理解为整除概念派生出的约数，又可以理解为乘法算式中的被乘数和乘数。这样一来，就会出现一种悖论，如，判断“在2[×]3=6中，2是因数”时，大部分人认为这是错的，理由是因数和倍数彼此依存，只能说两个数互为因倍数，或者说其中一个数是另一个数的因数（倍数），单独说谁是因数（倍数）存在逻辑漏洞。但也有人持相反观点，认为这道题是正确的，理由是在这道乘法算式中，2是被乘数，被乘数就是因数，所以2是因数毫无破绽。他们还拿除法类比，例如，在除法算式6[÷]2=3中，说2是除数也没有不妥，那么究竟如何决断？

然而，在旧教材中就不会出现这样的悖论。如，判断“在2[×]3=6中，2是约数”，这种说法毫无根据，因为约数是在整除概念下诞生的，一提到约数，必会联想到整除，进而想到倍数，想起约数和倍数是相互依存的。若判断“在2[×]3=6中，2是因数”，一般人肯定会依据算式表达的数量关系来断定其为正确，此时无须想到整除。但我认为，姑且不论这道判断题是否有意义，无论是新教材还是旧教材，都应判断为对，因为这里的“因数”具有双重含义，在没有明确说明语境时，只要符合一种含义就行。打一个通俗的比方：李芳妈妈、李芳、李芳女儿三人在一起，此时李芳就有双重身份——妈妈和女儿，说李芳是女儿难道不对吗？

总之，笔者以为，在“因数和倍数”这部分知识中，新教材的做法比较好，因为它简单直接、节奏明快，不像旧教材会牵涉一些生涩难懂的专属名词，学生很轻松就能学到这部分知识！

（责编 李琪琦）