“算术平方根”概念的探究式教学设计

一、问题提出

“算术平方根”作为初中数学的难点内容之一，其之所以成为难点有诸多原因。其根本原因在于，学生学习“算术平方根”时很难在心理上建立起新旧概念间有效的认知结构，不能够顺利地使得新概念成为其内部知识网络的一部分[1]。

人教版数学教科书从已知正方形的面积（均为完全平方数）出发，开门见山地给出“算术平方根”的定义。查阅有关“算术平方根”的教学设计[2]，有其各自特点，但却没有较好地关注到学生学习“算术平方根”新概念已经具备的经验或知识。

二、教学策略分析

在学习新知识之前，学生头脑中一定要具备与之有关的准备知识或经验，它们是支撑新知识形成的依托。如果新知识与学生的准备知识或经验可以建立紧密的联系，学生就可以利用自己的准备知识或经验“同化”新知识，新知识被吸收进来并把其整合到自己原有的认知结构中去，从而实现对新知识的理解。

那么，学生学习新概念“算术平方根”之前，已经具备了哪些与此有关的旧知呢？

（1）学生会求一个数的平方，或已知正方形边长，会求其面积;

（2）学生具有逆运算的概念，能够利用逆运算概念求形如1，4，9，……这样的完全平方数的算术平方根（尽管学生不知晓“算术平方根”这个名称）;

（3）学生具备初步的数形结合观念，能够从“形”的视角画出或制作出面积为2的正方形，能够从“数”的视角算出面积为2的正方形边长的近似值。

以上既是学生建立新概念“算术平方根”的重要旧知，也是教学新知的关键起点。

三、教学目标设计

知识与技能：理解算术平方根的概念，会求一个正数的算术平方根。

过程与方法：通过经历“算术平方根”概念的形成过程，感悟数形结合、归纳、类比、数学抽象等数学数学方法在“算术平方根”概念学习中的重要作用。

情感态度与价值观：通过“算术平方根”概念的形成过程，激发学习新知的好奇心，体验获得新知的成就感，感悟数学的自然性与和谐性。

重点：“算术平方根”的概念形成过程。

难点：“算术平方根”的概念的理解。

四、教学过程设计

（一）复习引入，类比探究

问题1：学校要举行美术作品比赛，小明要用边长为1分米的画布作画，那这块画布的面积是多少平方分米？边长变为1dm、3dm、4dm、6dm、3/4dm时，面积又分别是多少呢？并填写下表1。

问题2：小明要做一个面积为1的正方形画布，它的边长是多少呢？要做一个面积为4、9、16或36的画布呢？

【设计意图】通过这两个问题使学生认识到平方运算和开平方运算互为逆运算，为算术平方根概念的探究拉开序幕。

（二）巧設问题，引发认知冲突

问题3：已知正方形的面积，求边长X。

思考：问题2与问题3都是已知正方形的面积，求它们的边长的问题，为什么问题2同学们会求解，问题3又不会了呢？

活动1：既然我们不会求面积S=2的正方形边长X=？，那么我们能不能先解决一个简单的问题：在2×2（单位为分米）的方格纸中折出面积为2平方分米的正方形呢？

每个单元格的面积是，每半个方格的面积是。4个这样的半个方格组合到一起就可以拼成一个面积为的正方形。得出如图1中的正方形。

【设计意图】学生已有的旧知不能解决问题3，故先解决在方格纸中简单问题。让学生从形的角度认识到面积为2的正方形客观存在，从而其边长也客观存在，从而为后续近似计算奠定基础。

活动2：既然我们已经制作出了这个面积为正方形，那么同学们能不能用尺子量一量它的边长X等于多少呢？

学生经过测量，并汇报测量结果：有许多不同的答案。

思考：为什么大家的测量结果各不相同呢？

（三）近似计算、建构概念

活动3：既然测量的结果不准确，存在误差。有没有其他方法更精确地算出边长x的值呢？请大家拿出计算器，估算这个边长X=？

刚才通过测量已经发现边长X约等于1.4，我们就从1.4开始算起。

第一个环节：利用“无限逼近”的数学思想来估算这个X的值。

（1）因为，所以;确定了这个X的个位数是1，十分位是4，也就是说这个数是，1与2之间的数有很多。能否把X更加精确一些。

（2）因为，所以的取值范围，确定了这个X的百分位是1，也就是说这个数是。

（3）因为，所以;确定了这个X的千分位是4，也就是说这个数是。

因为，所以;确定这个X的万分位是2，也就是说这个数是。

小结：可以用这种估算的方法一直算下去，发现是一个无限不循环小数，即使一辈子只做这一件事，也不能精确地算出这个数。

【设计意图】通过引导学生利用计算器近似计算面积为2的正方形的边长的活动，使学生发现其边长是一个无限不循环小数，从而使得新概念“算术平方根”的形成水到渠成。

第二个环节：自己创造符合已知条件的符号表示X。

活动4：面积为2的正方形的边长是客观存在的，但是它又是一个无限不循环小数，所以自然需要创造一个新的符号，把这个数x表示出来。请大家思考这个数x是由哪些已知数唯一确定的？如何据此创造符合条件的数学符号表示x呢？

预设：显然X2=2，表明x是由幂2和次数2唯一确定，所以创造表示x的数学符号应当隐含这两个已知数据。

学生分组活动，构造符合条件的符号表示X，并汇报……

【设计意图】通过让学生构造符合条件的数学符号表示面积为2的正方形的边长，使其经历“算术平方根”符号语言的“再创造”过程，从而达到激发其好奇心，培养其想象力和创造力的目的。

第三个环节：引入算术平方根定义

如果一个正数X的平方等于a，即X2=a，那么这个正数X叫做a的算术平方根，a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定：0的算术平方根是0。

（四）讲解例题，布置作业

例1：求下列各数的算术平方根.

作业：请计算和的近似值。

结语

本节课以问题串的形式展开，通过若干组问题，使学生进入“不愤不启，不悱不发”的状态，深刻认识到引入新概念的必要性，使得新概念的生成过程自然流畅。

参考文献

[1]李洪兵.基于核心素养的概念教学策略——以“算术平方根”的教学为例[J].中学数学，2017（24）：69-71.

[2]杨彬.回到定义去——谈谈“算术平方根”的例题教学[J].初中数学教与学，2015（04）：28-29.

作者简介

杜璞（1994—），女，汉族，籍贯：江苏，新疆师范大学2017级数学课程与教学论学术硕士研究生，研究方向：课程与教学论。