高中数学导函数恒成立与构造函数教学实践研究

陈昊

摘 要：在高考試卷中，以导函数恒成立与构造函数类试题是高中生感到头疼的一大难点，因试题具有较强综合性、严谨性和灵活性，成为解题过程中的难点，也是考试中的一类难题。但是，导函数恒成立与构造函数内容也存在着一定规律，广大数学教师要帮助学生学习、探究其中的规律和技巧，加强对内容的理解程度，就能一步步地找到试题背后解题规律。在本文中，笔者以导函数恒成立与构造函数教学为例，探讨如何在新课改背景下开展导函数恒成立与构造函数的教学实践，希望对大家有所帮助。

关键词：高中数学;导函数恒成立与构造函数;教学实践

在多年教学经验中，笔者发现导函数恒成立与构造函数对学生来说是容易出现失分的主要内容，主要表现为理解困难、做题找不到思路，因此，开展导函数恒成立与构造函数教学时要从师生共同探究、渗透数学思维和加强运算能力三部分开展数学教学，帮助班级学生深入理解和掌握数学知识，进而发展数学核心素养。

一、师生共同研究

在以导函数恒成立与构造函数中，教师在课堂中要做好数学教学准备，一方面要根据班级实际学情和教材特点来设计教学内容，创新传统教学方法，运用新式数学教学手段，激发班级学生的探究欲望。随着新课改的深入进行，课堂教学重点不再只是重视知识传授，更重要在于综合能力培养。新课改教学标准要求高中数学教学要培养高中生数学思维能力，师生共同探究来求取问题答案，进而促进数学能力的有效发展。

在数学课堂教学中，笔者会先为学生讲解试题思路，再引导他们运用思路解答问题，导函数恒成立与构造函数解题思路为构造函数，或参数变量分离后构造函数，转化为求新函数的最值问题。如，已知函数f（x）=x2+2x+alnx，当t>1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围。在学习解答思路后，学生会先尝试独立求解试题。解析：不等式f（2t-1）≥2f（t）-3化为2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1），即，2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1），记g（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需使g（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可，运用求导公式进行求解。在班级学生训练过程中，笔者在课堂中来回巡视，帮助解题困难学生捋顺思路，使其能够顺利求出问题答案。师生共同探究使得学生能够了解求解思路，掌握解题规律。

二、渗透数学思维

在日常数学教学中，学生常常抱怨，上课听教师讲课很明白，但自己解题时总感到困难重重、无法下手，这并不是问题难以解答导致无法解决，而在于思维方式与具体问题解决存在差异，导致高中生数学思维存在障碍，课堂注重渗透数学思维能够有效消除障碍，成为数学教师课堂教学的重点。面对“导函数恒成立与构造函数”类试题，扎实的基础、熟练的解题方法是保障学生取得高分的重要手段，其中“等价转化”起到了重要作用。等价转化不是化简，很多时候是“化繁”，根据解题需要而言;等价转化不同于定理，公式，它没有固定的用法，是高中生在正常解题无法继续下去时，采取把问题等价转化为另一个不同问题的办法。

下面就一道导数恒成立问题来探讨什么是等价转化，以及等价转化的巨大作用。如，已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2，对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g’（x）+2恒成立，求实数a的取值。解：g’（x）=3x2+2ax-1，不等式为：2xlnx-3x2+2ax-1≤0，令k（x）=2xlnx-3x2+2ax-1，然后求出k（x）的最大值（先求单调区间）。一拿到试题，学生要思考如何求解试题，在尝试解法后发现要是按照不等式来做很难解答。面对这一情况，教师引导学生移项方式转化为求k（x）的最大值的问题，简化了求解思路，进而快速解出问题答案。从整个解题方面来看，本题困难和转折点都在“等价转化”处，把题干材料中的不等式进行等价转化，看似无解的难题就变成了容易求解的方程，也体现出等价转化魅力。在数学教学中，教师要注重以试题来渗透等价转化思想，提升班级学生的解题能力。

三、发展运算能力

在数学考试中，运算能力对学生成绩起到了非常重要的作用，可以说，运算能力的高低在很大程度上直接决定着成绩的好坏。实际上，每次看到学生因运算失误而失分感到无比遗憾。在数学教学之余，学生普遍反映运算过程繁琐、错误率高，往往因为“粗心”和“马虎”造成运算错误，在很多时候出现“思路对、结果错”的现象，究其原因，在于运算能力较差。导函数恒成立与构造函数知识点要求学生具有较高运算能力，因此，数学教师要重视培养高中生运算能力。

近年来，高考试题加大了对学生数学运算能力的考察，同时，运算能力也成为数学核心素养的重要组成部分。面对这一情况，笔者从以下方面来提升班级学生在导函数恒成立与构造函数知识方面运算能力：（1）引导学生掌握数学概念，在理解基础上进行记忆，加深对运算过程的理解和掌握;（2）很多情况下，学生出现错误是由于计算技能出现错误，每次考试后，按照要求来重新分析试题，挖掘错误本质，避免下次考试中再犯类似错误;（3）做完试题后，学生需进行认真检查，看题干材料、运算顺序、数字字母是否出现错误，避免出现结果错误。

总之，教师要开展高中数学导函数恒成立与构造函数教学实践不妨从共同探究、渗透思想和提升运算能力入手，注重培养高中生数学核心素养，发展个体综合能力，有效提升数学学习成绩。

参考文献

[1]吴宝树.全国高考统一命题视角下的“函数与导数”复习策略研究[D].福建师范大学，2017，（03）.

[2]韩栋.高中数学中导数解题策略教学研究[D].西北大学，2016，（06）.