数学课上应重视结论生成的过程

冯春花

[摘  要] 数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程. 我们要重视发现的过程和知识形成的过程，这样更能加深对结论和知识的记忆与理解. 数学学习，是学习数学的思维过程，是学习数学的参与过程，是学习数学的合作交流的过程，是整个数学学习的提高过程和生成的过程.

[关键词] 参与;合作;过程;生成

思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程. 数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动.

中学数学教学大纲指出：“数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程. ”因而我们要重视发现的过程和知识形成的过程，这样更能加深对结论和知识的记忆与理解.

理科学习重在平日，不适于突击复习. 平日学习最重要的是课堂45分钟，听讲要聚精会神，思维紧跟老师. 同时要说明一点，许多学生容易忽略老师所讲的数学思想、数学方法，而注重题目的解答，其实诸如化归、数形结合等思想方法远远重要于某道题目的解答. 这也就是一堂课该有的生成过程.

接下来笔者以“圆周角”一课为例，做具体说明.

课前设计说明：（1）让数学思想方法渗透在课堂教学之中，本课引导学生运用“从特殊到一般”的数学思想方法，将圆周角的度数与所对弧的度数之间的关系迎刃而解. 培养学生在分类讨论时，要全面，同时要注重教学与实践相结合的辩证唯物主义思想，培养学生的应用意识. （2）本课设计时，贴近学生，注重课堂上让学生主动参与和合作交流，关心交流的过程，因为过程比结论更重要.

重视定理或结论的合作交流过程和推导发现过程

步骤1：（1）复习回顾，什么叫圆心角及圆心角的特征，接着请一位学生上来在已画好的圆上任画一个圆心角;（2）如何确定圆心角的大小？

学生甲：用量角器直接量出.

老师：此方法可行吗？说说你们的理由. 下面以小组为单位交流，是否有更好的办法？

学生乙：此法可行，而且比较直截了当，也容易操作.

学生丙：此法可行，但有不利的一面，就是在度量时容易产生误差.

老师：圆心角是一种比较特殊的角，能否根據圆中的其他量来确定圆心角的大小呢？请大家继续交流.

不一会儿有一组学生经过交流，有了发现：圆心角的大小与它所对弧的度数是一样的. 大家都投去赞许的眼光，笔者请该小组的学生来解释这个问题.

（一个学生操作，一个学生解释. 如图1）

将☉O的圆周六等分，得======60°，沿6条半径剪开，将圆分成6份，每份拼在一起正好能完全重合，说明∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，即圆心角∠AOB= 的度数. （对此，其他学生和笔者都给予了该组学生赞许的眼光. ）

重视对概念的形成和辨析过程

首先对于规律、定理，不仅要知其然，还要知其所以然，做到刨根问底，这便是理解的最佳途径. 其次，学习任何学科都应抱着怀疑的态度，尤其是理科. 对于老师的讲解、课本的内容，有疑问应尽管提出，与老师讨论. 总之，思考、提问是清除学习隐患的最佳途径.

在教学中，对于一些概念、定义，若直接给出结果，则收益很小，不如让学生注重自我发现，在错误辨析中加强记忆，通过举例子、打比方等方法，加深理解.

步骤2：由圆心角的特征，（1）请学生画出一个圆周角，（2）说出什么叫圆周角，（3）指出圆周角的特征.

基本上所有学生都能准确画出一个圆周角，但关于定义有两种分歧，即顶点在圆周上的角是圆周角和顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角. 经过小组交流、探讨，看书本第49页4张图形，最后达成共识，即顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角. （最后指出，以圆心为顶点画一个角，则两边永远与圆相交，因而圆心角的条件只要满足顶点在圆心即可. ）

注重教师的引导过程，做到形

散神收

数学课毕竟不是活动课和劳动课，新课程注重学生的活动和参与，但若不加以引导，那么有可能会脱离主题甚至脱离实际，离开数学这个轨道. 要提高学生思维的严谨性，必须严格要求，加强训练. 落实到孩子学习生活中去，就是要求在学习新知识时从基本理念开始，做到在思路清晰的前提条件下稳扎稳打，逐步深入，在这个相对来说缓慢的过程中养成思考问题周密的思维习惯，在进行论证推理时掌握足够的理由作为依据;在练习试题时善于留心题干中的隐蔽条件，做到形散神收.

步骤3：圆周角的大小与它所对的弧是否也存在着某种关系呢？

老师：为了研究它们内在之间的关系，我们要学会猜想和分析，其中常用的方法是从特殊到一般的思想方法.

（如图2，当圆周角所对的弧是半圆时）

已知：在☉O中，AB为直径，探索∠ACB与弧AB之间的关系.

分析：（先猜想，后着手说明）由图易猜得∠ACB=90°，

即∠ACB=的度数.

学生说明：（即如何说明△ABC为直角三角形）

连接OC，则OA=OB=OC=R，

所以∠A=∠ACO，∠B=∠BCO.

又∠A+∠B+∠ACB=180°，

所以∠ACO+∠BCO+∠ACO+∠BCO=180°，

所以∠ACO+∠BCO=90°，

即∠ACB=90°.

归纳：①当圆周角所对的弧是半圆时，可知圆周角的度数就等于它所对弧度数的一半;

②半圆所对的圆周角为直角，反之也成立;

③直径所对的圆周角为直角，反之也成立;

④此方法是证明一个三角形为直角三角形的常用方法，即一边上的中线等于这边的一半时，此三角形为直角三角形.

注重学生的主动参与和合作交流的过程

只有学生主动参与结论的发现过程，才更有利于知识的记忆和理解，通过学生自己的分析、猜想、探索、合作、交流、综合、归纳，不断提高学生分析问题和解决问题的能力，同时也加强了学生之间互帮互助的美德，在学习的同时也学会与人相处.

步骤4：分析一般情况.

老师：这只是一种特殊情况，要是一个圆周角所对的弧不是半圆呢，它又会有什么结论呢？请大家画图，并进行小组讨论. （不过多久，各组上的学生就开始纷纷举手，笔者请其中一组同学说明他们的发现，展示他们的成果. ）

（一位学生画出图形，一位学生解释，如图3）

学生：仿照图2，我们画出了图3，区别在于圆周角∠ACB所对的弧AB不再是半圆. 但我们依然发现∠ACB=的度数，或者说∠ACB=∠AOB.

理由是，连接OA，OB，OC，并延长CO交☉O于点D，同理∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，而∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， 所以∠ACO+∠BCO=（∠AOD+∠BOD）， 即∠ACB=∠AOB=的度数.

结论是，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半;或者说等于它所对圆心角度数的一半.

（另一组学生中有人举手说，他们的结论下得过早，他们只说明了圆周角所对的弧是劣弧是的情况，而圆周角所对的弧还有可能是优弧. 如图4，理由如上，不必详述. ）

步驟5：看书，理解不同的说明方法. （老师适当点评）

（1）圆心O在圆周角∠CAB的一边上时，如图5：

易知∠CAB=∠ACO，∠COB=∠CAB+∠ACO，所以∠CAB=∠COB=的度数.

即圆周角的度数等于它所对弧度数的一半;或者说圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半.

（2）圆心O在圆周角∠CAB的内部时，如图6，结论同样成立.

（3）圆心O在圆周角∠CAB的外部时，如图7，∠CAD=∠COD，∠BAD=·∠BOD，所以∠CAD-∠BAD=（∠COD-∠BOD），即∠CAB=∠COB，结论同样成立.

注重师生的归纳和点评过程

对学生尽可能加以肯定，让学生充满自信;同时点评要注意准确性，要让学生有所提高. 因为在数学学习的过程中，学生要善于从已有的答案和解题过程中提炼出自己想要的东西，发表自己的见解. 不能一味盲从，要学会用批判性的思路去进行各种方式的反思和检验. 就算思想上完全接受了，也要谋改善，提出新的想法和见解.

学生：不管用哪种说明方法，都隐含了一种数学思想方法——从特殊到一般，以后要加以重视和运用.

教师：大家都积极思考，主动参与，而且发现了正确结论，老师很为你们高兴，有你们这种讨论和探索的精神，你们肯定会不断进步. 另外，我感到特佩服的是——你们不死读书，你们发现结论的过程和书上是不一样的，而你们的方法也非常简洁明了.

总之，数学学习，是学习数学的思维过程，是学习数学的参与过程，是学习数学的合作交流的过程，是整个数学学习的提高过程和生成的过程.