数学建模融入经济数学教学中的案例及分析

崔石买

摘 要：经济数学是财经类专业的关键的基础课程之一，是高校财经类专业的重要基础课程，在培养高素质的复合型人才中具有无法忽视的基础作用。在经济数学教学课程中，如何引入数学模型进行教学？本文结合经济数学教学实践，主要介绍经济数学中几个经典的应用于财经类专业的数学建模案例，将数学融入经济学课程中。

关键字：经济数学；数学建模；案例；微积分

一、引言

数学在经济全球化以及当今世界科学技术的迅速发展进程中发挥了至关重要的作用，经济社会发展的一个重要特点是定量思维和定量化的不断加强。可以说当今世界的每一项经济方面的研究与决策都离不开数学的运用，故数学在近十年来已然成为经管专业的重要基础学科之一。

二、数学建模融入经济数学中的典型案例

（一）广告投放越多越好吗？

广告是通过各种媒介向消费者推销商品或者承包生活服务以使客户更加了解和信任商品或服务以最终达到扩大销售目的的一种销售产品形式。

商业广告十分发达，在日常生活工作中随处可见商业广告的踪迹。那么，广告投放量越多越好吗？广告效益与广告投入成正比吗？下面我们主要通过微分方程建模来简单解释和分析如何才能使广告收益最大化：

首先我们假设 表示消费者对某商品的购买量， 表示消费者对该商品的最高需求水平， 表示对企业对该商品投放的广告量， 表示广告量的最高投放限制。商品的需求發展速度 受当前消费者对该商品的需求量 与实际的商品需求发展潜力 影响；同时也受广告投放量 的影响， 不超过 时，广告能促进消费，当 超过 ，消费者往往会出现逆反心理，甚至会猜测该商品是否有质量问题等而影响消费者对某商品的购买量 。广告的投入速度 受消费者对该商品需求量的影响，于是有下面的广告投入与商品销售量的微分方程模型： （1.1）

其中 ，k，r是正常数，μ表示商品的实际购买水平对该商品的购买速度增长潜力的影响系数，k表示广告投入量对商品的购买速度的影响系数，r表示商品的实际购买水平对单位时间内的广告量的影响系数。

系统（1.1）有两个奇点是 和 。

对于奇点p点，（1.1）的线性近似系统的特征方程为： ，即 +μλ+κγ=0，

当 时，P是稳定的结点；当 时，P点是稳定的焦点。

对于Q点，（1.1）的线性近似系统的系数矩阵为

特征方程为

这就表示广告投入并非越多越好，在日常商业活动中需要去仔细考虑 点，使广告投放效益最大化。

（二）商品定价越高越好吗？

众所周知，商品的定价关乎着销售企业的经营收入，因此对于企业而言商品定价是至关重要的一个经济决策。那么商品定价为多少才合适呢，既不会过高影响消费者经济利益又不会损失企业效益，并使企业达到利益最大化呢？下面我们通过经济数学的思维来解释分析商品价格与企业收益之间的关系，进而找到最合理的定价。这里我们将会用到微积分中的微分学。

我们假设某商品的需求函数用D=D 表示，且可微。 为价格p的相对变量， 为需求D的相对变量，则称

为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性1，记为 。

需求弹性 表示消费者对该商品的需求量D对商品价格p的变动的反应程度。由于需求函数是价格的减函数，故需求弹性为负值。当商品价格上涨（或下跌）1%时，其需求量将减少（或增加）约 。

在商品经济中，商品销售者关心的是提高价格 或降低价格 对销售商品总收益的影响。设销售总收益 则当 很小时，有： ，于是有：

由此可知：

当 （富有弹性）时，降低价格可使销售总收益增加，也就是常说的薄利多销多收益，一般适用于一些为非必需品的且容易找到替换物的商品，这些商品价格变化时，引起的需求量变化较大，如果价格变动为1%，那么需求变动将超出1%，也就是价格对需求的影响非常明显。

当 （缺乏弹性）时，提高价格可使销售总收益增加，一般适用于社会必需品，如粮食等，价格波动对需求影响较小，价格变动1%，需求变动小于1%。

当 （单位弹性）时，提高价格或降低价格对销售总收益没有明显的影响。

通过上面的分析，让学生充分了解微分学的广泛应用，让学生更好地掌握了经济学数学，也为他们后续的专业课学习打下坚实的基础，提供了有利的保障。

三、结束语

以上是经济数学教学过程中融入数学建模思想的几个典型教学案例，可能还存在需要补充和改进完善的地方。同时从这些案例可以发现，将数学建模的思想融进到经济学数学中，不仅可以提高学习经济数学的兴趣，还可以较大程度地激发学生的潜能。

参考文献：

[1]钱和平，徐清舟.数学建模融入经济数学教学中的案例及分析[J].大学数数.2012.06.

[2]成均孝.数学建模融入经济数学教学中的案例研究[J].财经界（学术版）.2013.11