关于偏导数计算的注记

摘要：在本文中，作者举例说明了对于二元函数的偏导数计算方法需要准确的理解.一般地，作者定义了可分离函数，并且对其偏导数计算进行了讨论。

关键词：二元函数；偏导数；可分离函数

中图分类号：G642

关于二元函数的偏导数计算，高等数学的经典教材[2]里有这样一段描述“至于实际求z=f（x，y）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求fx时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求fy时，则只要把x暂时看作常量而对y求导数。”根据这一描述中的方法，对于具体表达式给定的二元函数而言，求其偏导数本质上就是求导数。但是，笔者在教学实践中发现有学生对这一方法的理解是不准确的。例如，对于二元函数z=f（x，y）=3xy=3x·3y的偏导数计算，有学生运用此方法会求得如下错误的结果：

fx=（d3xdx）·3y=13x-23·3y，fy=3x·（d3ydy）=13y-23·3x。

按照偏导数的定义，二元函数f（x，y）=3xy的偏导数为

fx=13x-23·3y，xy≠0

0，y=0，fy=13y-23·3x，xy≠0

0，x=0。

學生那样计算出现了错误的结果，原因是什么？原因在于对描述中的方法没有做到准确的理解，以求fy为例，虽暂时把x看作常量，但不能忽视这个常量x会影响二元函数f（x，y）在点（x，y）处对y的偏导数是否存在。就拿二元函数f（x，y）=3xy来分析，f（x，y）在点（1，0）处对y的偏导数是不存在的，但在点（0，0）处对y的偏导数是存在的。为什么二元函数求偏导数时会出现这种现象？本质上归结为对于一元函数的导数计算我们需要注意到：对于给定常数k和函数g（x），当k≠0时，kg（x）与g（x）在点x处的可导性是一致的；当k=0时，kg（x）与g（x）在点x处的可导性不一定是一致的。……