辨析椭圆易错题型

■河南科技大学附属高级中学 马欢欢

椭圆是高中数学学习的主要知识模块,又是高考考查的重点知识之一,也是联系初等数学与高等数学的纽带,它侧重于形象思维,推理运算和数形结合,综合了代数、三角、几何等知识,涉及的知识点较多,对解题能力考查的层次较高。同学们在解答时,常常表现为无从下手,或者半途而废,解决这一类问题的关键在于：通观全局,局部入手,整体思维,运算缜密。在掌握和解题思路的整体设计上下工夫,不断克服解题中的运算难关,在解题时统筹运用数形结合思想、参数思想、分类讨论思想等,以达到优化解题的目的。同学们在解椭圆问题时也会经常出错,本文从多个方面举例剖析在解答有关椭圆问题的过程中易混易错的原因,并提出正确的解题方法。

一、椭圆的定义及其标准方程

例1若x2+ky2=1 表示椭圆,则实数k的取值范围是多少?

解析：因为方程x2+ky=1表示椭圆,所以则k取值范围是(0,1)∪(1,+∞)。

易错点：本题容易忽略k≠1而致错,圆不是椭圆的特殊情形,因此,椭圆的标准方程中二次项系数不能相等。

变式：若直线y=kx+1(k∈R)与椭圆恒有公共点,则实数m的取值范围是多少?

解析：由于直线y=kx+1(k∈R)恒过定点(0,1),故点(0,1)在椭圆内部或者椭圆上,所以m∈[1,+∞)。又因为m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞)。

易错点：本题容易忽略m≠5而致错,椭圆的标准方程中二次项系数不能相等。

例2已知椭圆的中心在原点,且经过P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程。

解析：(法一)当焦点在x轴上时,设其方程为=1(a＞b＞0)。由椭圆过点P(3,0),a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为。当焦点在y轴上时,设其方程为=1(a＞b＞0)。由椭圆过点P(3,0),且a=3b,解得b2=9,a2=81,故椭圆的方程为。综上,椭圆的标准方程为或者

(法二)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0),由于椭圆经过P(3,0),代入得m=。当焦点在x轴上时,n=1,故椭圆的方程为。当焦点在y轴上时,故椭圆的方程为综上,椭圆的标准方程为+y2=1 或者

易错点：容易忽视先判断焦点位置,直接认为椭圆的焦点在x轴上,漏掉在y轴上的情况,当题目中焦点位置不确定时,要注意讨论焦点的位置。

变式：椭圆两焦点间的距离是16,且椭圆上某一点到两焦点的距离分别是9和15,求椭圆的标准方程。

解析：由题意知,2a=9+15=24,2c=16,a=12,c=8,b2=80。因为焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以椭圆的标准方程为或者。

二、轨迹问题

例3若动点P到两定点A(0,-2)和B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是( )。

A.椭圆 B.线段

C.直线 D.不存在

解析：由题意知|PA|+|PB|=4=|AB|,所以P点在A、B之间运动,其轨迹是线段AB,答案为B。

易错点：做题时易忘记动点P轨迹是椭圆有三个要点：

①在平面内|PA|+|PB|=2a,A、B是定点；

②2a为定长；

③2a＞|AB|。

变式：设定点F1(0,-3)和F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),则P点的轨迹是( )。

A.椭圆或线段 B.线段

C.直线 D.不存在

解析：由题意知|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),所以当a=3时,|PF1|+|PF2|=a+=6=|F1F2|,此时P点在F1、F2之间运动,其轨迹是线段F1F2；当a≠3 时,|PF1|+|PF2|=a+＞6=|F1F2|,此时P点的轨迹是椭圆。答案为A。

易错点：求轨迹要注意隐含条件对轨迹的影响。

例4已知A、B是两个定点,顶点M为动点,|AB|=6,且△ABM周长为16,求顶点M的轨迹方程。

图1

解析：如图1 所示,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。设M(x,y),由题意知,A(-3,0),B(3,0),|AB|+|AM|+|BM|=16。因为|AB|=6,所以|AM|+|BM|=10＞|AB|,M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆。由题意可知点A、B、M不共线,即x≠±5。易知椭圆中a=5,c=3,b=4,则点M的轨迹方程为=1(x≠±5)。

易错点：利用椭圆的定义求方程,应先根据动点满足的条件验证是否符合椭圆的定义,求出轨迹方程之后,要检验方程上的点是否都符合题意,如有不符合的点应在方程后注明。

变式：在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,求动点P的轨迹方程。

解析：因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1)。设点P的坐标为(x,y),则kAP·kBP=,即=1。因为直线AP与直线BP的斜率存在,所以x≠±1,点P的轨迹方程为=1(x≠±1)。

三、椭圆的几何性质

例5已知F2是椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点,其右准线与x轴交点为A,在椭圆上存在一点P满足线段AP的垂直平分线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是( )。

图2

解析：椭圆上存在一点P满足线段AP的垂直平分线过点F2,则|PF2|=|AF2|,|PF2|。于是(a-c,a+c],即ac-c2＜b2≤ac+c2,则于是,所 以e∈,选D。

易错点：PF2是椭圆的焦半径,最小值为a-c,不是当PF2垂直于x轴时的长度。

知识点：焦半径与离心率是密不可分的两个概念,而无论在椭圆还是双曲线中,焦半径本身是有取值范围的,于是利用这一点也可以解决一些离心率的取值范围的问题。椭圆离心率(0,1),且椭圆焦半径的最大值为a+c,最小值为a-c。

变式：已知F1、F2是椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆的离心率e的取值范围是( )。

图3

解析：由于满足的点M总在椭圆1(a＞b＞0)的内部,故对于椭圆上任一点P,∠F1PF2均为锐角。事实上只需顶点位置的顶角为锐角即可,如图3,即0＜∠F1BO＜,则e=sin ∠F1BO＜,答案为C。

知识点：①F1、F2是椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点,P是椭圆上的动点,则∠F1PF2最大时,P是椭圆的上顶点或下顶点。

②A、B是椭圆=1(a＞b＞0)的左、右顶点,P是椭圆上的动点,则∠APB最大时,P是椭圆的上顶点或下顶点。

例6设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点M是椭圆上任意一点,点A的坐标为(2,1),求|MF1|+|MA|的最大值。

图4

解 析：如 图4 所示,因为点M在椭圆上,所 以|MF1|+|MF2|=2a=10。令|MF1|+|MA|=z,则z=10+|MA|-|MF2|。当点M落在F2A的延长线上时,可得|MA|-|MF2|=-|AF2|；当点M落在AF2的延长线上时,可得|MA|-|MF2|=|AF2|；当M、F2、A不共线时,可得-|AF2|＜|MA|-|MF2|＜|AF2|。所以zmax=10+,zmin=10-,|MF1|+|MA|的最大值为10+。

易错点：没有分析点A的位置,认为当M、F1、A三点共线时,|MF1|+|MA|取到最大值|AF1|=。

知识点：这里利用椭圆的定义将与曲线有关的最值问题转化为线段的最值,对于上述类型的最值有如下结论：

已知F1、F2是椭圆=1(a＞b＞0)的两个焦点,Q(x0,y0)为平面上一定点,M为椭圆上任意一点。

①若Q(x0,y0)在椭圆的内部,则2a-|QF1|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|；

②若Q(x0,y0)在椭圆的外部,则|QF2|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|。

变式：设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点M是椭圆上任意一点,点Q的坐标为(2,6),求|MF2|+|MQ|的最值。

图5

解析：如图5 所示,|MF2|+|MQ|≥|QF2|=,当且仅当点M为线段QF2与椭圆的交点时不等式取到等号。又因为|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=10-|MF1|。于是,|MF2|+|MQ|=10+|MQ|-|MF1|≤10+|QF1|=10+,当且仅当点M为线段QF1的延长线与椭圆的交点时不等式取到等号。故|MF2|+|MQ|的最小值为,最大值为10+。

四、直线与椭圆的位置关系

例7已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且过点,离心率是

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l过点E(-1,0),且与椭圆交于A、B两点,若|EA|=2|EB|,求直线l的方程。

解析：(1)设椭圆方程为=1(a＞b＞0),由已知得

解得a2=4,b2=1。

所以椭圆C的标准方程为+y2=1。

(2)(i)若直线l的斜率不存在,则过点E(-1,0)的直线方程为x=-1,此时,显然|EA|=2|EB|不成立。

(ⅱ)若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x+1)。

(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0。

方程Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16＞0。

设A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=,①x1x2=。②

因为|EA|=2|EB|,所 以,则x1+2x2=-3。③

易错点：求直线方程时,不讨论斜率是否存在。

变式：椭圆方程为=1(a＞b＞0),中心为原点O,过O作两条垂直的射线与椭圆交于P、Q两点,求证：

解析：(1)若OP、OQ在坐标轴上,显然

图6

(2)若直线OP、OQ斜率存在,设直线OP的方程为y=kx,直线OQ的方程为y=。

数学是一个熟能生巧的过程,但是“熟”怎样才能生“巧”? 要学会剖析问题,找出问题的关键点和切入点,把一类题型所具有的共性总结出来,提炼后形成数学的思维方法,在不断的反思和探究中,掌握解决一类问题的通法,达到举一反三的目的。