数学运算关键能力的培养策略

王琛　林红霞

摘要：运算能力是小学数学课程的核心能力之一，也是学生的基本数学素养之一，它与数学关键能力的培养有着密切的联系。在第一学段数学教学过程中，教师可通过着力算理推理与数学思考，着力算法优化与数学表达，着力创新实践与数学建模，来培养学生运算能力，突显数学的关键能力。

关键词：数学运算;关键能力;小学第一学段

中图分类号：G623.52 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）10A-0052-04

运算能力是小学数学课程十大核心概念之一，也是学生基本数学素养之一，它与数学关键能力的培养有着密切的联系。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”可解读为：“运算能力指不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径。”[1]从当前的教学目标来看，运算能力的培养要求包括：体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算。从小学数学课程教育的整体视角审视，培养儿童正确进行运算的能力，就是培养儿童在理解运算意义和算理的过程中掌握算法，寻求合理、简洁的运算方法的能力。可见，数学计算是数学运算的一个步骤与组成部分，而数学运算则是数学计算的综合与应用。重要的是应当让学生初步学会理解运算的法则，以求接纳和理解算理。

第一学段是儿童学习运算的起始阶段，也是数学学习的启蒙阶段，如何在这个起始阶段开好头，奠定良好的数学学习基础，是一个值得认真研究的课题。对于如何在第一学段数学教学过程中，培养运算能力的同时，突显出数学的关键能力，以及运算能力的培养需要经历怎样的过程，笔者做了以下三点思考：

一、着力算理推理与数学思考

1.走出计算一味图快的教学误区

在小学数学课堂上，很多学生在课前提前学习了本学期的内容，他们在做计算题时，知道要“又对又快”。虽然“对”的要求在先，但是在实际计算时，他们往往还是一味地追求速度。

调查发现，学生的许多计算错误并不是因为计算本身出现了错误，而是儿童在一味追求“快”的过程中，忽略了推理性思考而发生的“选择性错误”。数学的一个显著特征是严谨的逻辑性，数学学习的一个重要目的是提高儿童的逻辑思维水平，而提高逻辑思维水平依赖不断地经历“推理”的过程。笔者认为，计算教学初期过分强调“快”是不合理的。过分追求速度的训练，也是导致学生学业负担加重的主要因素之一。基础教育质量监测应该尝试减少题量，或者是延长测试时间，允许延迟评价，从而给儿童思考和理解算理留下足够的时间。这是因为，素养的培养是要“慢”的。注重推理思考，就应关注思考程序、思考的走向、思考的逻辑连贯，而不能以技巧训练为主。学校的教学管理，更不能动辄以学生的考试成绩来衡量教师的业务水平，要切实纠正超量练习、反复做题、训练速度、培养应试技巧等错误的教学倾向。理解算理是一个长期过程，需要给予学生情境、学具和时间反复理解、抽象，需要让关键能力在课堂上落地生根。对于第一学段的计算教学，教师要引导和启发学生“慢下来”，学会推理思考，学会结构化思考，学会自主学习、解决计算实际问题。

2.提倡计算教学中的數学思考

郑毓信教授强调：数学教学不应求“全”，而应求“联”。小学一、二年级计算中逻辑思维体现较为显著的部分，是20以内的进位加和退位减。它牵涉到10以内数的组成与分解，即“分与合”，涉及凑十法的策略选择，位值原则和进退位处理，连加和加减混合。要想真正理解20以内的进位加和退位减的算理，就需要在一年级的学习时，培养学生的数学思考的意识。此外，最常见的竖式计算，能够使计算过程程序化，便于操作。当学生记住了这样的操作程序，经过反复训练，确实可以达到培养基本技能的目的。但过度的形式化、程序化训练，就易忽略计算中逻辑思维的成分，使课堂变成了教师的课堂。加减竖式教学应强调数位对齐的理解，即相同的计数单位相加减，就是相同计数单位数的加减。而竖式乘法教学，要让学生明确乘法分配律的处理过程。乘法是将竖式中下一行的数，依次用其个位数、十位数与竖式中第一行的乘数相乘，然后把两个部分的积相加。竖式的除法是包含逻辑数理最为复杂的部分，其中蕴含了十分丰富的数学思想方法和探究策略：①将除数与被除数，从高位到低位多次逐位推演比较的思想方法;②比较协商中先提出初商试除，再作乘法验证的思考;③分段相除中，余数与其下合并继续再除的思想;④除法试商中先大略、再精确的思想;⑤每次试除，不够商1就商0、余数要比除数小的原则等。这些思想方法和其间体现的逻辑原则，都使除法竖式教学成为一个数学思考的宝库。

此外，计算的思考过程，应当着重逻辑推理的过程，要把计算教学的重点定位于计算与思考的统一，让学生经历逻辑推理的训练，逐步提高儿童的思维水平。在笔算教学时，特别应该重视每一步算式意义的理解教学，要让学生在计算中多讲思考过程和算理，从而让计算练习更有意义。

二、着力算法优化与数学表达

1.强化对比和优选算法

小学数学课程的教学模式遵循由简到繁、由易到难的原则。因此一般在小学一、二年级阶段，数学知识逻辑较简单易懂，学生的运算能力比较稳定，学习理解能力也会较强。通常到了三年级后，学生会感到数学中计算方式越来越多，学习中对逻辑思维和运算能力的关注也会有所降低。如果说优化算法体现了运算技能从特殊到一般的过程，那么灵活选择算法，则是从一般到特殊的回归，是运算技能的又一次“生长”，是学生个体知识与经验的重组与构建。第一学段数学运算教学，需要发展学生主体的思维回环，强化对比思考，优选算法。华中师大郭元祥教授提出，在重视发展的知识教学中，知识的理解与学习需要经过“还原与下沉、经验与探究、反思与上浮”的“U”型过程[2]。运算教学强调核心素养，必须逐步上升到新的运算高度，有效实现运算能力的形成与提升。这就需要教师在教学的过程中，给学生留时间，让他们充分参与，主动交流，积极表达各自的理解观点，对比、优化算法。

2.注重交流和表达

交流和表达是分享观点和厘清理解的有效途径，更是必要途径。在前置性学习流行的当下，不同层次的学生或多或少对计算有一定的“预先学习”，笔者往往采用先组内讨论，再班级分享，最后优化算法的教学流程开展计算教学。无论是组内讨论、班级分享、优化算法中的哪一个过程，都需要交流，包括生生交流与师生交流，都需要表达，包括方法的表达、评价的表达、小结的表达。学生在数学思维和推理中，用口头或书面方式来表达，在与他人交流思考过程之时，也使得思维和推理更清晰。而倾听别人，能让学生加深理解。从多角度探讨数学思想，有助于他们改进思路并做出有机联系。参与解答过程与辩论，特别是在思路和答案不一的情况下，学生说服持不同观点同伴的同时，也能够形成对数学的真实学习和真实理解。

3.促进探索与建构

计算法则是前人在计算实践中，长期思考总结出来的有价值的方法结论。儿童的计算学习，固然需要传承这些思考成果，但是计算教学如果仅仅满足于一味接受现成的法则结论，那么数学学习往往就会陷入“灌输”“被学习”，甚至是“伪学习”的泥潭。相反，在计算法则的教学中，教师可安排学生未教先探，展开教学交流和讨论，让学生成为方法、法则探索的主体，让学生自我建构计算方法，也就能促进计算学习的真实发生。比如苏教版小学数学第5册教材第1页例1：

李叔叔培育出一批新品种菜椒，送给敬老院10盒，每盒12个。一共送给敬老院多少个？

在教师的引导下，学生凭借已有的一位数乘两位数的知识基础，积极想办法尝试自己解决计算“12×10”的新问题。有的学生说：“我先算9盒菜椒，9个12个，再加上一个12个。”有的学生说：“我把10盒看作是两个5盒：12×5得到得数后，再乘2。”还有的孩子这样试探，每盒中的12个当成两个部分，一部分是10，一部分是2。12盒就是10个10与10个2，这两部分加起来一共是多少。有个孩子干脆上前在黑板上写出：12×1=12，再在（得数）后面添写“0”。问他为什么又要添“0”，他说：“要乘的是10呀，我先当成1来乘，10不就是1后面添加一个‘0吗？”虽然他的说法和写法不够清楚规范，但其思考其实是表示：12×1=12，12×10=120。这是在与“12×1=12”的比较中，实现了对于“12×10”的直觉思考。

这样经过优选比较的讨论，也就奠定了两位数乘整十数笔算法则的基础。这不仅有助于学生发展数学思维和语言表达能力，而且能够让学生体验到使用数学语言的重要性。计算教学的课堂上要为学生创造机会，引导并支持学生在课堂上围绕数学计算的尝试和思考，充分进行听、说、读、写的数学交流活动，用互动交流学习数学计算，也在计算学习中学会开展数学交流。

三、着力创新实践与数学建模

加法、减法、除法都有各自的现实原型，它们都是能够从相应的现实原型中抽象出来的。首次感知运算的意义时，必须从儿童的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型的过程。

在第一学段最先出现的是总量模型，它表达总量与部分量之间的关系。其中部分量之间是平等、并列的关系。因此，在这种模型中，部分量之间运算要用加法。从数学计算角度考虑，部分量之间的关系，可以称为加法模型。加法模型具体表示为：部分量+部分量=总量。比如，图1为一年级加法教学的起始课插图及其加法算式的建模引导。上下排列中的第一行是实物形象模式，盘子里5只苹果，盘子外3只苹果，或者可以表达为：左边5只，右边3只;先有5只，后又拿来3只等。经过推理可以知道，两部分一共有多少只苹果，这就在思维中进行着合并的运算。这里，教师可以引导学生运用手势来操作，实现思维模式的外化：让学生伸出双手食指，左手食指横向伸出，右手食指纵向伸出并搭上去，形成一个“十”字形加号手势模型。两手的两根食指，代表着两个部分物的数量，加法就是靠拢到一起的动作模式。这就引导出教材下几行语言和算式的模型表征，从而引入加号，出现框图算式表征的加法模型：□+□=□。

显然，模型中的部分数量的附着物不只是苹果，数量也不只是5和3特定的具体数据，模型中部分数的个数也不局限于两个。数学建模创新变式应用，需要把握以下几点：

1.充分经历数学素材的丰富变换

在教学中，应让学生逐步形成一种感悟，引发建模的内在需要。数学模型都是对于同类数学现象的高度概括，形成概括需要学习者产生内心的动力，是一个自然发生的过程。因此，安排充分的同类经历，反复刺激学生就成为数学模型的先决条件。

2.把握在建模中提升的关键时机

教学中，教师应适时扩展模型应用和变化建模后的素材，通过变式引导加法模型中由两部分数变为三部分数、多部分数等的连加变式的提升。应注意的是，教师应把握建模变式提升理解的合适时机，既不能操之过急，增加学生接纳的困难，也不能过于滞后，错失儿童思维水平提升的机会。

3.凸显数学模型的关系实质

数学模型表达的就是数量间一定性质的关系，加法模型中就是两部分数合并的关系。加法符号就是这种关系的静态标识，而教师让学生做手势，就是一种活动化表征。它与语言表征诸如“盘里……盘外……一共”的表达是一致的，都是为了凸显二者合并的关系实质。因此，教学中应尽可能外显数量间关系，积极运用生活化、言语化、操作化和数学化等多元表征的互换，使学生能够深度理解。

4.及时进行模型的多样化演繹和应用

教师引导学生将模型创造性地用于解决生活中的各种具体问题，以求理解掌握。这不仅是为了实现新知识的巩固，也是为了数学认知的可持续发展。比如用加法模型可以来解决生活中一些涉及总量的问题，以“9的分与合”为例，在教学该课时，我们可以创设一些情境，引导学生灵活地使用加法模型。教师可以在部分量和总量的关系中，嵌入一些生活情境，安排一些故事，把加法运算模型演变为减法运算模型：总量-部分量=部分量。这样新的模型建立有利于学生理解算理，建立减法与加法的互逆关系，扩展数学认知，从而提升计算技能，深化运算理解。

參考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家组工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社， 2012：2.

[2]郭元祥.丰富课堂的教育涵养——谈课程改革的深化[J].新教师， 2016（1）：21-23.

[3]孙丽谷，王林.义务教育教科书数学（一年级上册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社， 2013：60.

责任编辑：赵赟

Strategy for Cultivating Students Key Competence in Mathematical Operation

WANG Chen & LIN Hongxia

（Nanjing Gulou No. 1 Central Primary School， Nanjing 210008， China;

Nanjing Gulou Center for Teacher Development， Nanjing 210013， China）

Abstract： Operational competence is one of the core competences in primary school mathematics and also one of students basic mathematics accomplishments， which is closely related to the cultivating of mathematics key competence. In the process of the first stage of learning， teachers may focus on arithmetic reasoning and mathematical thinking， arithmetic optimization and mathematical expression， and creative practice and mathematical modeling to cultivate students operational competence and highlight their key competence in mathematics.

Key words： the first stage of learning in primary school; mathematical operation; key competence