优化高中数学概念教学策略

梁煜

【摘 要】本文阐明优化高中数学概念教学的一个原则，以及高中数学概念教学常见的二元模式，阐述优化高中数学概念教学的三种方法，通过情境创设教学方式简化概念理解难度，引入数学文化教学方式帮助学生溯根求源，然后有针对性地指导概念学习以提高教学效率。

【关键词】高中数学 概念教学 建构主义 教学模式

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）08B-0141-02

概念教学是保障学科系统化教学的前提，也是深入探讨学科原理与应用的基石，尤其在数学领域表现得更加突出。本质上，数学作为一种从现实对象中抽象而成的空间形式、数量关系的反映形式，具有高度的概括性、精炼性和逻辑性。目前高中数学教学中存在一些误区，如“重计算、轻概念”和“题海战术”等，将数学概念视为一种僵化、机械的应用依据，学生远没有达到灵活运用概念的程度。基于此，本文通过分析高中数学概念教学的原则、模式，提出三种优化教学方法，以供广大高中数学教师参考。

一、优化高中数学概念教学的一个原则

概念可以描述为“人类对客观事物认识中的基本逻辑单元和形式”，以此类推，“数学概念”就代表了人们对数学知识的基本逻辑单元和思维形式。从数学史的角度出发，“逻辑”与“思维”经历了漫长的演变和转化过程，其作用主要是表达和解释数学本质，凝炼为概念;有了数学概念之后，人们才能脱离现实束缚展开更深入的研究、应用，如新概念的推理、判断、论证等，从而达到“高等数学”的层次。但溯根求源，真正的数学概念，原本并不抽象、乏味、枯燥，它原本都是自然社会和人类社会中存在的各种现象。由此，在高中数学概念的教学过程中，一个最主要的原则就是让学生能够系统地掌握“概念”的认知过程，实现从“抽象”到“具象”的回归，本文将其归纳为“建构主义原则”。

建构主义理论创始人让·皮亚杰（Jean Piaget）指出，学习者的知识结构是基于同化和顺应的过程实现的，即学生自身必须具备一定的知识经验，在外界因素的刺激下通过意义构建才能获得知识。更加通俗地说，学习是一个“质变过程”，知识结构不可能通过单纯的知识积累而建成。在该理论下审视高中数学概念教学，我们发现，直接以“定义”“描述”等简单方法，则会破坏意义建构的可能性。不同的学生面对符号、字母、数字等元素构成的表達式时，知识经验相对丰富的学生可以快速理解，数学天赋不足的学生则难以达到意义建构水平。只有坚持建构主义原则，建立具象实体与抽象概念之间的桥梁，从更低的层次上契合大部分学生的知识经验，才能实现更大范围内的意义建构。

二、高中数学概念教学常见的二元模式

结合本人多年来高中数学教学实践，笔者认为概念教学方法取决于概念获得方式，在这一问题得以明确之后，才能展开高中数学概念教学。由于概念获得方式的差异，导致概念教学模式的差异。结合前人研究成果，本文将其归纳为“直观形成获得方式”下的教学模式和“概念同化获得方式”下的教学模式两类。

（一）高中数学概念“直观形成获得方式”下的教学模式

“直观形成获得方式”源于心理学范畴下的“概念形成”定义，相关的理论包括“共同因素说”（赫尔）、“共同中介说”（奥斯古德）、“假设考验说”（布鲁纳）等，其核心内涵是指“概念”从现实对象或关系中直接抽象获取，从实体存在转化为符号表达。如下图 1 所示，描述了一个“新概念”从无到有的演变过程。

此类概念贯穿于数学教学的各个阶段，在教学过程中，较为典型的描述方式为，首先，以客观存在的物体为基础材料（如教具、实物、图片等），让学生根据既有的生活化经验产生直观感知。然后，再针对物体进行要素剥离，突出与数学概念密切相关的组成部分。最后，引导学生将自然语言转化为数学语言，形成精炼、准确的概念描述形式。例如，在人教版高中数学（必修一）第一章《1.1 集合》的概念教学中，教师拿出篮球、足球、乒乓球、气球四种实物，提出“体育器材集合”的要求，学生可以根据生活学习中的现有经验快速地判断出气球和其他三种球类的差异，按此规律演化而成的概念都可以归纳为“直接形成”。值得一提的是，这种教学方式大多是从直观角度出发，比较适应学生知识经验基础较好的情况，便于从不同对象中抽取出共同点。

（二）高中数学概念“概念同化获得方式”下的教学模式

借鉴“概念同化”的心理学概念，“概念同化获得方式”下的教学模式依赖于已经被广泛接受、理解和认可的固有概念。在教学过程中，教师可以直接解释概念的内涵，并借助已有的知识帮助学生理解，这一过程即为“同化”，而后形成新的数学概念。很显然，概念同化是建立在数学逻辑之上的，需要一定的演绎过程来解释旧概念到新概念的形成过程，在整体上，始终处于抽象层次，其演化过程如图 2 所示。

该模式下教学流程可以实现举一反三，极大地简化教学过程、节约教学时间。例如，在人教版高中数学（必修一）第一章《1.3 函数的基本性质》中，当学生理解了偶函数的概念之后，就不难推理出奇函数的概念，在教学过程中可以引入实例。

教师：结合偶函数的概念描述（f（-x）=f（x）），请问，函数  y=x2，x∈[-1，2]是偶函数吗？

学生：不是。

教师：请给出理由。

学生：因为虽然 x2 永远为正数，始终位于 y 轴上侧，但在定义域内 f（2）=4 存在，f（-2）=4 不存在，所以不能称之为偶函数。

教师：根据这一过程能够推论出奇函数的概念吗？

学生：满足 f（-x）=-f（x）的条件就是奇函数。

基于“同化”原理，可以降低高中数学概念教学难度，但这种方式的应用存在很大的局限性，势必要求旧概念和新概念之间有密切的关联度。

三、优化高中数学概念教学的三种方法

（一）通过情境创设教学方式简化概念理解难度

数学较之其他学科而言，更加注重逻辑能力、想象能力和抽象能力，加上数学概念的“符号化”特征，从而在教学方面形成了巨大的障碍。很多学生的第一感觉是“枯燥”“复杂”“繁琐”，一个概念就如同一个冷冰冰、毫无生气的“机器”，并且在数学解题过程中，这架机器还很容易“发生故障”，导致计算错误和思路偏差。那么，如何化解这一困难呢？许多著名的数学教育家都强调过“数学源于生活和生产”，以此为依据，通过情境创设的方式，让学生完成从“具象”到“抽象”再“回归具象”的思维过程，能够极大地简化概念理解难度。

将数学概念融入现实存在的事物当中，让学生在“看得见、摸得着”的情况下抽象出数学概念，并根据这一过程推导出更多的新概念。比如，人教版高中数学（必修一）第一章《1.3  函数的基本性质》中，关于“奇偶性”的概念描述就显得十分抽象，教材指出“一般地，如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）=f（x），那么函数 f（x）就是偶函数（even function）”，对应地，指出“f（-x）=-f（x）”的条件成立则为“奇函数（odd function）”。这种描述方式并不等同于严格意义上的“概念”，而是基于一种客观规律的特性描述。如果按图索骥地展开概念教学，那么学生很容易产生混淆和理解误差，从这一描述上看，奇函数和偶函数之间的差异在直观上仅仅存在于“-”符号。对此，通过情境创设，可以很容易地让学生理解“奇偶性”的特征和差异。例如针对“偶函数”，可展示一些对称性图形，如泰姬陵、蝴蝶、太极图等，让学生了解其中包含的“中心对称”和“轴对称”关系，让学生结合偶函数图象的对称性展开思考。同一道理，利用“螺旋桨”“沙漏”等实体模型，也可以让学生从其中抽象出奇函数的图形特征，进一步明确函数奇偶性的性質。

（二）引入数学文化教学方式帮助学生溯根求源

根据数学概念的起源，引入数学史、数学家等文化内容，让学生从数学概念的“根源”出发，接触到生活、生产层面的要素，从客观体验中懂得数学概念的演化过程。例如函数的概念，可以从数学史的角度出发，介绍其不同时期的发展过程，以及比如伽利略、牛顿、欧拉、柯西等数学家的研究过程，以此加深学生对“变量关系”的认知。通过这种教学方法，学生能够理解数学概念不是凭空臆造出来的，而是为解决实际问题而提出的，并通过逐级演化变成了现在的状态。弄清“前因后果”，对概念学习和理解大有裨益。

（三）有针对性地指导概念学习以提高教学效率

通过对高中数学概念教学的反思，发现不少教师对概念教学缺乏针对性，一般采取“概念解释→举例说明→开展新课”的流程。这个过程的“源头”存在缺陷，当学生面对一个新概念时，并不清楚它在数学知识体系中所处的地位，及与其他概念之间的关系，以及概念的起源及演变过程。因此，针对性地指导概念学习应该作为高中数学概念教学的一个重点，具体的方法包括下面两种。

第一，对比法。通过相似或相关联概念的对比，可以清晰地发现旧概念和新概念之间的差异。例如，在人教版高中数学中存在的“子集与真子集”“对数与指数”“概率与频率”等概念，都是极容易混淆的，通过对比之间的差异，有助于学生理解。例如，“概率”和“频率”都包含了“率”，说明它们都是“比例值”，但它们之间有本质的区别，通过举例对比，学生就能较好地理解和掌握它们之间的差异。

第二，精细化法。数学概念具有高度概括性，用词非常精炼，有时候甚至不符合语法习惯，这就需要教师进一步地对概念进行“精细化”处理，提炼出其中的“关键词”，让学生明白细微的差别。例如，人教版高中数学中的“集合”，有这样描述：集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯一的确定元素相对应。在这描述中，“任意”和“唯一”应该作为关键词加强理解。

高中数学概念教学应遵循“以人为本”的建构主义原则，理清概念形成与概念同化获取方式，进而引导学生体会数学的人文特质，消除“抽象化”“符号化”带来的学习压力，从中体会到数学的魅力。

【参考文献】

[1]刘 志.浅谈高中数学概念教学课堂设计[J].课程教育研究，2018（49）

[2]叶昀喆.数学抽象视角下的高中概念课教学[J].中学数学教学参考，2018（33）

[3]巢中强.高中数学概念教学的策略研究[J].数学学习与研究，2018（21）

[4]董胜兵.如何在高中数学概念教学中培养学生的反思能力[J].中学数学，2018（19）

[5]牟惠兰.高中数学概念教学模型建构的思考[J].数学教学研究，2018（05）

（责编 卢建龙）