落实素养为本的数学开放题教学

张侨平，唐彩斌

落实素养为本的数学开放题教学

张侨平1，唐彩斌2

（1．香港教育大学 数学与资讯科技系，香港 999077；2．杭州市时代小学，浙江 杭州 310006）

素养为本的数学教学，需要培养学生在不同问题情境中的数学思考、推理、交流、分析和判断等关键能力，以及积极的学习态度．尽管开放题在中国被提出的时间较早，但在课堂教学中重视还不够，值得进一步探索．开放性的数学问题能够帮助学生获得信心和提供学习者多角度思考的机会，不同能力的学生在解答开放题时能够产生自己的数学思考，形成课堂中的数学交流和讨论，培养高层次思维能力．

素养为本的教学；开放题；数学素养；数学教学；核心素养

1 素养为本的数学教学

在当前知识经济的时代，互联网和信息技术瞬息万变，世界各地的教育系统都面临同样的问题：未来的社会需要什么样的人才？学校教育如何培养这样的人才？许多国家和地区都将学会学习、终身学习作为应对社会改变的教育改革目标，并提出了基于核心素养的教育改革．不同于传统意义上的知识和技能，核心素养是在一定的情境中，个体通过使用和调动心理社会资源（包括技能和态度），以满足复杂需求的关键能力，是个人自我发展、融入社会以及胜任工作所必需的能力，也是终身学习的基础[1-2]．在各地的数学课程文件中，对数学核心素养的界定虽有不同但也存在诸多的共通之处[3-4]，比如大都重视数学能力的整合，重视数学问题情境和重视跨学科课程的学习．总的来说，数学素养是一个人在面对复杂的情境和实际问题时，以积极主动的态度，灵活地运用数学知识和思维方法，有效地运用辅助工具，进行推理、交流、分析和判断，从而解决问题的能力．它是个人数学知识、数学思维、数学能力和数学情感的综合体现．

如何在课堂中落实素养为本的教学？不少学者指出，培养学生核心素养较为理想的模式是统整课程[5-7]．然而，在华人地区，学科为本的课程组织形式仍然根深蒂固，学科课程也大多“依据学科逻辑来确定课程内容，以学科知识结构及其知识发展逻辑为依据的课程内容的确定与教材编撰，路径相对明确”[8]．因此，培养和发展学生的核心素养，最终还是需要通过基于不同学科脉络和知识框架的学科素养来实践．那么，如何从核心素养的内涵出发在数学学科中落实素养为导向的数学教学呢？

每一门学科有其固有的特征和基本的概念与技能．因此，基于核心素养的数学教学需要考虑数学学科自身的认知方式、思维方式和表征方式．作为数学教学的重心，问题解决一直为课程文件制定者和广大教师所重视[9-10]．在认知学习理论的影响下，问题解决代表着一种由各种认知技能和行为组成的复杂心理活动，它包括着诸多高阶思维能力，如可视化、关联、抽象、理解、操作、推理、分析、综合、一般化等[11]．培养学生的数学核心素养，也就是要能够在数学问题解决当中，透过问题情境的改变，培养学生的数学思考、推理、交流、分析和判断等关键能力．学生在认识数学、探索数学乃至创造数学的过程中，能建立起积极的学习态度，正确的价值观，实现用数学的眼光看待现实世界，用数学的语言表达现实世界，用数学的思维分析现实世界．

2 开放题与问题解决

学生问题解决的过程大多经历“理解问题—制定解题计划—执行计划—反馈解答”这4个主要步骤[12]．提升学生问题解决能力的一个关键，自然跟所涉及的数学问题相关．一个好的数学问题能够带动学生的学习动机和好奇心，能够拓展学生的数学思维，发展其数学能力．

数学中的开放性问题（open problem）就具备这样的特征．在20世纪70年代，日本数学教育家提出开放性问题（open-ended problem）（最初的开放题主要指问题的结果是不确定的），在国际数学教育界引起了广泛的重视[13]．在1998年第一届东亚国际数学教育（EARCOME-1）大会上，集中讨论的课题之一就是数学教学的“开放性”（openness）．同年11月，华东师范大学数学教育研究室在上海召开了全国“数学开放题及其教学”学术研讨会，汇报了课题组的九五教育规划重点课题：开放题——数学教学的新模式．如今，数学开放题已成为世界性的数学教育的焦点，与之相应的“开放性”教学（open-approach teaching）也成为数学教学新的发展趋势．究其原因，主要还是在于这种教学方法是着力培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力和数学思维能力，让学生能够按各自的情况，进行不同的策略选择．这与我国当前倡导的素养为本的教学理念是一致的．那么，到底什么是开放题？不同的研究者有不同的理解．例如，中国著名数学开放题研究专家戴再平先生[14]总结了关于开放题概念的几种不同理解：（1）结论不确定的数学问题称为数学开放题；（2）开放题是和封闭题相对而言的．一个数学开放题，若其未知的要素是假设，则为条件开放题，若其未知的要素是推理，则为策略开放题；若其未知的要素是判断，则为结论开放题；若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都需要在情境中自行设定与寻找，则为综合开放题；（3）探索性问题是数学开放题；（4）数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题．

美国Silver教授[15]将数学开放性问题主要分为3类：（1）给出的问题条件是开放的；（2）问题的最终结果是开放的；（3）问题的解题过程是开放的（如图1）．当然，开放题也可以是这3种类型的综合情况．例如，（1）条件开放题：问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一．例：两个数相加为20，这两个数是多少？（2）结论开放题：在给定条件下，结论不唯一．例如：寻找13元6角的硬币组合？（3）解题策略开放题：思维策略与解题方法不唯一．例如：围着火炉一圏，一次可以烤10个红薯，烤熟一个要5分钟，两面要烤熟才完全烤熟，现在烤15个红薯，至少需多长时间．（4）综合型：在条件、结论、策略中至少有两项是开放的．例如：一个长方形，剪掉一个角，剩下部分还有几个角？

图1 开放题的类别

数学开放题具备不同的开放类型，不同的开放程度能让不同的能力和兴趣的学生得到不同的发展．美国加利福利亚州教育部门就曾指出开放题所具备的5个功能[16]：（1）为学生提供了自行思考并用自己的数学观念进行表达的机会，这和他们的数学发展是一致的；（2）要求学生构建他们自己的反应，而不是选择一个简单的答案；（3）允许学生表达他们对数学问题的深层次的理解，这在多项选择题中是无法做到的；（4）鼓励学生用不同的方法解决问题，这也反过来提示老师用不同的方法解释数学概念；（5）开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份．

开放题的一个重要特点是能评估学生的高阶思维能力（higher-order-thinking skills），这也正是当前基于核心素养的教学所重视的．学生在面对问题时，能把原来的知识和技能进行组合，以形成解决当前问题的一种整体的技能，或者对原来的技能进行修正，以解决目前的问题．学生通过对问题的观察，不断检验上述技能是否能解决，不断地修正假设．如果已有的知识和技能并不能解决问题，就会对新的方法提出假设并进行尝试．如果成功，学生会考虑是否有类似的例子可以拓展，并发展新的理论．因此，开放性的数学问题涉及到学生的高层次思维[13]．在这样的解题活动中，解题的思路常常有些复杂，不会事先给定的；也经常产生多种解题方法，学生对每个解答都要下一定的功夫，并且有着体验和收获；解题的过程包含着思维过程的自我调整[17-18]．比如有这样一个例子：假设您正在电话里与同学交谈，希望他帮忙画出下面这些图形（图2）．而该同学无法看到图形的样子，只能听你的描述．请设计一个表达方法，可以帮助你的朋友准确画出这些图形．

图2 开放题的举例

在这个认识图形的开放性问题中，每一个学生，无论能力强弱，都能参与讨论和思考．受制于自身对几何图形的理解，学生的回答或会出现不同的方案，特别地，要将看到的数学图形清晰地表述出来，需要学生借助一定的空间感，合理地组织与表达相关的数学元素．

学生解答开放题的过程其实显示了学生进行数学探索的一种可能的路径．在Cifarelli和Cai[19]的研究中，研究者分析了两位数学专业的大学生解答数学开放题的思路．结果发现，学生的数学探索主要涉及3个阶段：首先涉及对给定的问题不同程度的感知，这时的开放度是最大的；接着开始形成解题的目标，比如制定解题方案和策略，此时开放性减少；最后解决问题和对结果进行反思．而这个数学探索的过程其实也是一个循环的过程（见图3）．这是因为学生对解决方案反思后，有可能提出了新的问题，于是又一次进入了数学探索，亦即新一轮问题解决的过程．

图3 开放性问题情境下数学探索的路径

学生在面对数学开放题时，必须进行探索，有效地推理和利用数学方法解决问题，其核心是让学生能够数学地思维（mathematical thinking），这正是数学教学的重心所在．林碧珍、郑章华和陈姿静等的研究[20]透过设计包含数学臆测的教学任务，来说明教师如何能帮助学生进行数学论证，从而培养应有的数学素养．该数学任务设计的原则遵循“造出例子/汇整及组织例子—观察关系并提出猜想—验证猜想—猜想的一般化—证明的一般化”几个步骤，尽可能给学生提供充分论证的学习机会．这种学习模式也正是当前培养数学素养的教学所倡导的，即提供实例让学生探索，让学生从活动和观察中发现数学关系，引导学生经历数学知识产生的工作，体会数学的本质．另外，研究者也强调这种数学任务设计原则还可为教科书的编写和使用提供借鉴．

3 开放题的设计

落实基于核心素养的数学教学既需要重视问题情境，也需要熟悉儿童自身周围的经验（包括他们的已有知识），由学生的认知世界作起点，进行课程和教学的设计．在这个设计过程中，教师需要充分提供学生学习的机会，探索和经历数学知识产生的过程．在设计数学开放题时，可以有以下一些方法和原则[14]：（1）弱化成题的条件，使其结论多样化；（2）隐去成题的结论，使其指向多样化；（3）在既定的条件或关系下，探讨多种结论；（4）给出结论，寻求使结论成立的充分条件；（5）比较某些对象的异同点；（6）在既定的条件下，设计解决某些实际问题的方案；（7）在实际情境中，寻求多种解法与结论．

在学校数学学习中，学生遇到的数学问题往往都是来自教师或者试题．学生在解题时，是运用问题解决的策略进行探索还是猜测和寻找老师想要的答案呢？毋庸置疑，教师期望学习情况会是前者，但现实课堂教学中，后者大量存在．这也是研究者所提到的深层（deep）学习和浅层（surface）学习的重要分别[21-22]．基于记忆的浅层学习者，往往是再现或者背诵已有的知识．而基于理解的深层学习，则更在乎对意义的寻求．基于核心素养的数学教学，更注重学生在课堂活动中，从学习材料中探寻学习对象的意义．开放题的设计有助于学生深层的学习．许多的生活问题都可以作为设计开放题的来源和起点，以此带动学生进行数学探究活动．

比如，为培养学生的量感，教师可以让学生估计一叠A4白纸的张数？计算一张厕纸的厚度？这些例子在实际生活中经常接触，学生容易明白，虽少有思考．学生可以在探究解决问题的活动中对度量有更深入的认识．再例如，利用拼接和组合来认识几何图形，有两个完全一样的正方形，拼在一起只可以拼出一种图形；3个完全一样的正方形，可以拼出两种不同的图形，4个完全一样的正方形呢？也可以从二维延伸到三维：两个小正方体积木能拼出多少种几何体呢？3个小正方体积木能拼出多少种几何体呢？4个呢？延伸到几何体的组合，也就带出了索玛立方体的知识，而这种探寻一般模式（look for pattern）的方法本身就是问题解决的一种．另外，也可以将问题的结果和条件反过来，针对以前习以为常的答案（如方程的解是=3），让学生创造出相应合适的问题（如写一个应用题，满足=3是其解），这种自我拟题的方式本身就带有很大的开放性，激发学生的创新思维．再者，课堂对话也是引发学生思考的重要方法，教师可以设计一些开放性的提问，如多问一种方法：你还可以怎么做；多给一种方式：可以用数字、图形、文字、图标来表示；多说一点原因：你是怎么看的？或者限制学生已经熟悉的策略：如果不计算，比较78×88和79×87的大小？

4 结论

基于素养的数学教学，对广大教师来说其实并非完全陌生．自中国2000年的基础教育改革以来，学校课程建设和课堂教学改革的方向其实都在朝这一方向迈进．做好知识、技能、情感态度和价值观的整合，就是在实践素养本位的教学．在数学课堂，重视学生的数学思考，帮助学生从掌握基本知识和技能到具备高阶思维能力，也就是体现了素养本位的数学教学．开放题的教学虽然在国内早被提出，但在课堂教学中真正得到落实和发展还远远不够，它也有很大的生命力．学生是学习的主体，而学习不但包括学习的内容（结果），还包括学习的过程和学习过程中的情感体验．开放题的特征和功能，既重视了过程，也关注了结果．让学生学会学习，掌握思维的方法，灵活地在不同的情境下应用所学的知识和技能，这正是21世纪的技能或者核心素养的关键内涵．

有效教学的关键在于教师自身的专业反思能力．开放题的设计只是在教学中协助教师落实素养为本的数学教学的方法之一，还有很多其它方法和策略可以运用于教学．当数学问题从封闭型变为开放型时，教学就为学生提供了更多探索数学的机会，同时也促进了不同层次学生的课堂参与热情．训练学生解决数学题，向来是很多教师精通和擅长的．对于习惯问题设计的教师来说，或许要留意另一种“心魔”：即从过去常规题目的操练演变成对开放性问题的操练．这样说这并非危言耸听．曾几何时，在学校改革中大量推行的自主学习、项目学习等多元评价模式，也会偏离了改革的原意，沦为按固有模式进行操练的产物．另外，在素养为本的教学下，数学开放题的设计，要考虑如何提升学生的数学推理和数学思维，还要考虑如何促进学生的数学合作交流能力．教师的解题教学思维要从关注个人的问题解决转变为促进小组合作的问题解决．在这方面，数学活动题未尝不是一种可行的方式[10]，让几个同学分工合作、共同解决一些数学开放性问题．在课堂之外，也可进行一些数学探究活动，如数学游踪（mathematics trial），既能将课堂学习和课外学习结合起来，也能培养小组的分工与合作．另外，美国Marian Small教授将数学开放题结合平行任务融入到教学中进行分层教学[23]，处理学生的个别差异，也很值得借鉴．

在学校教育中，教师常常希望学生跳出思维的框架（think out of the box），但教师自己是否能做到呢？新课程改革，进一步重视学生的数学问题解决能力，应视为扭转过往教学中一些不健康做法的契机．要开创课程改革的新局面，除了改变各种考核、筛选学生的方式和制度外，关键在于教师能否有效地通过课堂教学培养学生解决问题能力，促进学生对数学的理解，以数学思考来取代一些过量的、空洞的操练．除了讲授问题的解法，更要注重学生的想法．数学开放题的教学不仅仅是数学问题的开放，还应该有数学课堂的开放．明白这些，也就不难理解新课改以来所一直强调的教师角色的转变，即要从知识的提供者和传授者逐步转变成为学生学习环境的制造者、学习活动的合作者和促进者．这也正如戴再平先生在二十多年前的文章中提到的“开放型题教学要求教师具有一种新的素质”．

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The Implementation of Open-Ended Approach in Competency Based Mathematics Teaching

ZHANG Qiao-ping1, TANG Cai-bin2

(1. Department of Mathematics and Information Technology, The Education University of Hong Kong, Hong Kong 999077, China; 2. Hangzhou Shidai Primary School, Zhejiang Hangzhou 310006, China)

The competency-based mathematics teaching needed to cultivate students’ key abilities in mathematical thinking, reasoning, communication, analysis and judgment within different problem situations, as well as their positive learning attitudes. Although the open-ended approach had been proposed earlier in China, it was not well emphasized in classroom teaching and was worthy our further exploration. Open-ended mathematics problems could help students gain confidence and provide opportunities for students to think problems from multiple perspectives. Students with different abilities could generate their own mathematical thinking in the process of solving open questions, which formed the mathematical discussions and communications in the classroom and in turn enhanced students’ higher-order-thinking skills.

competency-based teaching; open-ended problems; mathematical competency; mathematics teaching; core competency

2019–10–03

香港教育大学内部研究项目——利用分层课业处理学生数学学习差异的成效研究（RG93/2017-2018R）

张侨平（1980—），男，湖北武汉人，助理教授，博士，主要从事数学课程与教学、教学教育研究．

G424

A

1004–9894（2019）06–0061–04

张侨平，唐彩斌．落实素养为本的数学开放题教学[J]．数学教育学报，2019，28（6）：61-64．

[责任编校：陈隽、张楠]