基于TAP的数学概念教学论证过程量化研究设计

武小鹏张 怡

基于TAP的数学概念教学论证过程量化研究设计

武小鹏1，2，张 怡1，2

（1．黔南民族师范学院 数学与统计学院，贵州 都匀 558000；2．华东师范大学 教师教育学院，上海 200062）

推理论证能力是数学学习过程中的关键能力，尤其在重要概念的学习中，更应当强化概念的系统论证过程．图尔敏论证模型可将概念的论证过程加以结构化剖析，可以更明确深入地分析教师概念教学的论证过程，掌握教师课堂教学的论证水平．文章以图尔敏论证模型为理论基础，借鉴Erduran等人对论证水平的划分，构建了数学概念教学论证水平分析框架．再按照课堂教学的IRF结构模式，将数学概念教学划分成若干个小的话轮．从话语分析的角度，对课堂教学的论证过程进行编码统计，进而做出量化分析．试图借助图尔敏论证模型和话语分析相关理论，构建数学概念教学论证分析框架，为数学概念教学的准确论证分析提供参考．

图尔敏论证模型；IRF；论证教学；概念论证

1 引言

推理论证能力作为数学的关键能力，受到数学教育界的广泛关注[1]．美国《学校数学课程原则与标准》明确指出从学前至高中阶段的数学教育，要使所有学生能够“认识推理和证明是数学的基本方面，提出和调查数学猜想，发展和评价数学论点和证明，选择和使用各种推理和证明方法”[2]．《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了六大核心素养，在“逻辑推理”这一核心素养中指出“逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神”[3]．在数学概念的教学方面，要提高抽象概括、推理论证能力[4]．由此可见，数学概念的学习不应只停留在记忆和理解上，掌握数学概念的论证过程，体会概念论证过程中所蕴含的数学思想方法，也是数学概念学习不可或缺的部分．

虽然，中国中学数学教师在“数学证明”素养上的基本功还是很扎实的[5]，但目前的课堂教学活动，对概念的论证探究多流于形式，大多数教师都会在概念教学中按照“提出问题—组织讨论—形成概念”的模式进行程式化教学．这样的教学往往过于注重探究的形式而忽视了探究实质，造成物质性目标和功能性目标的双重缺失[6]．数学是一门逻辑极其严密的学科，现有的中学数学课堂缺乏实质性的论证，即使课堂教学中形式化的讨论也不能常态化．在这种情况下，将图尔敏论证模型引入中学数学课堂，尤其是以图尔敏论证模型为依据强化数学概念的教学，可以对概念进行结构化的剖析，让学生不但掌握概念论证的过程，而且体会其中所蕴含的数学思想方法[7]．

2 理论基础

2.1 文献综述

数学是一门形式化极强的学科，数学教育的一个重要价值就在于其无法替代的形式训练作用，数学的美也体现在严密的逻辑推理当中，离开了推理论证就脱离了数学的本质和核心．图尔敏论证模型从逻辑学的角度分析了论证的内部构建，为数学概念的论证提供了可借鉴的新视角，让学生对数学概念的理解更加全面．Aufschnaiter等认为，从建构主义视角来看，进行论证必然有助于学科知识的建构，提高学生概念理解水平．他们以初中学生为被试，发现论证教学能够有效完善和巩固学生认知结构中的已有相关知识，使其更加精确化、精细化和抽象化[8]；Jimenez-Aleixandre等人对17至21岁学生论证环境问题的教学结果也表明，论证的主要作用在于能够帮助学生将已有知识应用到实际情境中，将生态化知识和综合概念知识及价值判断相结合[9]；Cross等人对中学生开展了为期2周的4个单元（20个活动）的教学干预，结果表明论证不仅有利于已有概念的进一步理解，而且可以帮助学生将新概念纳入到已有知识体系中，同时消除错误概念．另外，Cross的研究结果还发现，论证对学生认知结构的影响程度与知识理解程度有关，如论证对知识掌握好的学生的认知结构影响更为明显[10]．

Lewis和Leach对中学生进行短期的知识教学干预（提供知识储备）后，证实了中学生开展论证学习的可行性[11]．类似的，Aufschnaiter等人的研究结果也认为，具体领域知识及已有知识是开展课堂论证活动的关键因素[8]．图尔敏论证模型在科学教育中应用较多，但在数学教育领域的研究还很少．如Krummheuer[12]与Knipping[13]等人分别利用图尔敏论证模型对小学和初中学生数学教学过程中的推理论证交流进行分析，以考察学生的推理论证交流水平．Metaxas以图尔敏论证模型作为分析工具，观察分析了一位教师8周的的教学过程，考察了该教师对函数、微积分等核心概念的论证水平[14]．国内还没有将图尔敏论证模型应用于数学教育的研究．图尔敏模型展现了一个由主张、根据、资料、支援、限定词、反驳6要素构成的论证模式，可以借此模型组织课堂教学，对数学概念进行论证，为数学概念的论证提供一个可参考的范式，学生对论证的充分性也有了明确的认识．同时，也可按照图尔敏论证模型将概念的论证通过情境转化，显化为具体实例的论证，将抽象论证问题具体化，为学生深入理解概念提供可能．

2.2 研究框架——图尔敏论证模型

图尔敏论证模型是英国哲学家斯蒂芬·图尔敏在20世纪50年代提出的，他在专著《论证的运用》中打破传统的数字化的论证模式，在与法学类比的基础上，提出了一个由主张、资料、根据、支援、限定词和反驳等6个功能要素构成的过程性模式，称为图尔敏论证模型（Toulmin’s Argument Pattern，TAP）[15]．其结构如图1所示．

图1 图尔敏论证模型

在图尔敏论证模型中，主张、资料和根据是论证模型的核心成分，即图中虚线部分，也将其称为基本模式．基本模式连同周围的支援、限定词和反驳3个成分构成了TAP完整模式，也叫拓展模式．表1说明了各要素的含义．

表1 图尔敏论证模型各要素含义

TAP起源于法庭的辩护，近年来在科学教育领域应用较为广泛，但在数学教育中的应用几乎还没有．因此需要对图尔敏模型做出数学化的阐释．在数学概念论证教学中，由于大部分教学内容都是围绕问题展开，因此对于TAP的各要素在数学概念教学中可以做表2的解释．

在数学中，常用的论证方式是逻辑学当中亚里士多德的三段论，即为大前提、小前提和结论．结合表2可以发现，TAP中的基本模型和三段论是高度一致的，基本模型通过主张、资料和根据保证了的论证的基本要素构件．然而，扩充模型是为了进一步的充实论证过程，强化论证的可信度已达到充分论证而做的补充．因此TAP是对传统三段论的具体化和进一步补充，为分析课堂教学论证提供了有力的工具．

表2 图尔敏论证模型各要素数学化解释

3 研究方法

在对课堂教学论证分析时，考察教师的论证水平成为比较主流的研究方向．研究在TAP各要素的基础上，结合Erduran等人提出的论证质量分析框架和数学概念教学的特征[16]，划分论证水平．为了进一步对课堂编码，水平的划分考虑到编码过程中话轮的选择，结合IRF结构模型，构建出如表3的数学概念教学论证水平分析框架．

表3 数学概念教学论证水平分析框架

研究将IRF结构模型作为量化分析的基本依据．该模式先由“发起—回应—评价”（initiation-response-evaluation，IRE）模式，即教师发起（I）一个问题，学生进行回应（R），然后教师再进行评价（E）的互动方式发展而来．在此基础上，Well从社会建构主义的角度出发，认为，“反馈”（feedback）比“评价”（evaluation）更能精准地概括教师第三个阶段的话语范围，因此将其修改成为“发起—回应—反馈”（IRF）模式，这一模式获得到了较为广泛的认可[17]．为了将论证水平进行量化统计，研究依据IRF结构模式将话轮作为话语分析的基本单元进行统计．

4 研究过程与结果

研究分别选取5位专家型教师和5位新手型教师的函数概念课作为研究对象，专家型教师的课来自名师公开课，新手型教师一般为入职不到3年的教师．分别对两类课程按照IRF结构模型划分成若干个话轮，在对每一个话轮按照TAP统计其各要素出现的频次[18]．按照表3的数学概念教学论证水平分析框架对话轮的水平进行界定，并统计各水平出现的频次，最后将5位教师各要素和各水平求均值与方差，得到论证要素和论证水平统计表，如表4所示．

表4 论证要素和论证水平统计

4.1 论证要素分析

从主张要素上看，专家型教师提出的主张明显要高于新手型教师，基本都为新手型教师的2倍左右．教师能在课堂上提出较多的论断，让学生在此论断下进行科学合理地论证，这充分说明教师能在整体上把握课堂，对课堂内容的研究更加深入透彻．再从教学效果的预测来看，专家型教师的课堂中，学生通过论证大量的主张，对函数概念的感悟更深，记忆更牢固，理解更全面．可见，专家型教师通过挖掘教学内容，提出更多关于函数概念的主张，或者让学生通过查阅资料提出更多的主张，以待验证．这样学生才能看到函数的全貌，才能提供给学生更广阔的视角认识函数，这是专家型教师提高函数概念教学论证水平的一项措施．

资料是教师对自己提出主张的事实依据，是为主张提供了一定的资料支持，资料越多说明自己提出主张的合理性越高．根据是用于说明主张和资料之间的联系，可以进一步说明自己的资料可信程度，如果资料很多，但根据较少，说明资料的可信度差，论证效果不足．

从总体数量而言，在这两个要素上，都表现出专家型教师的频次要高于新手型教师．再从资料和根据的比例来看，专家型教师都提供了更多的依据来解释主张和资料之间的联系，而新手型教师提出几乎和资料相等的根据．资料和根据的数量在一定的程度上说明了论证的充分程度，据此分析，专家型教师增加论证资料和根据，是提高论证水平的一个重要方面．

支援是根据的附加性材料，从这一要素看，无论是专家型教师还是新手型教师，支援的数量相对根据和资料的数量都有所减少，但是专家型教师在支援数量上明显要高于新手型教师．说明专家型教师对自己的论证补充较多，补充性材料更丰富，专家型教师对自己给出的根据提供了更充分的理由，对根据的可靠性给予了较多支援，增加了根据的说服力和可靠性．专家型教师为自己的主张提供尽可能多的理由，使学生能在较多材料的支援下真正理解函数概念的本质．

专家型教师在课堂上使用的反驳数量明显高于新手型教师，说明专家型教师在对函数概念的论证上思考更深入，提出了较多的疑问来引发学生思考，调动学生对概念深入理解．研究表明，反驳的数量一定程度上表明了论证质量，反驳的数量越多，结构越复杂，论证水平越高[19]．表4的统计数据显示，专家型教师的论证质量明显高于新手型教师．

从表4中可以得到，在关键词的使用上，两类教师都比较少地使用了限定词，新手型教师甚至没有使用限定词，这说明两类教师都选择了说服力较好的资料．但是新手型教师没有使用限定词，这在一定程度上说明新手型教师的论证过于绝对，很有可能对特殊情况考虑不周．

4.2 论证水平分析

为了更直观地对论证水平进行对比分析，按照表4论证各水平数据，得到如图2所示的论证水平对比图．

图2 专家型和新手型教师论证水平对比

Aufschnaiter等人认为，从建构主义视角来看，进行论证必然利于学科知识的建构，提高学生概念理解水平[8]．依据图2所示，专家型教师在各个水平的论证上都要明显高于新手型教师．对于数学教师而言，严密的论证能力是一位优秀教师必备的素养．因此，新手型教师在对重要概念的论证方面还需要进一步加强．对学生而言，论证教学不仅作为一种行动，而且作为一种离散的系统活动而存在，“论证”是这个活动系统的主要动机[20]．论证成为激发学生学习兴趣，提高学生学习效率的有效手段．

通过图2还可以看出，专家型教师不但各水平的论证频次要高于新手型教师，并且在水平三、水平四、水平五等较高水平的论证方面，出现了较大的优势．可以进一步说明不断提高教学的论证水平是新手型教师成长的关键．数学概念的充分论证，不但要有充分的观点分享，足够的依据支撑，还需要有严密的数学用语，敏锐的批判性思考．高水平的论证可以较好促进学生抽象概括能力和推理论证能力的培养．因此，数学概念课的教学，教师要引导学生向高水平的论证发展，充分地展现论证的丰富性和多元化，促进学生复杂思维的训练．在教师论证水平的统计中可以看到，高水平的论证是教师教学素质的直接体现．增加论证的复杂性和全面性，有助于学生更加深刻地理解概念和运用概念解决实际问题．高水平的教学可以更进一步增强学生的探索意识、强化学生的创新精神、提升学生的创造力．

5 结论与讨论

利用TAP来考察数学概念教学论证过程，目的在于将数学概念的论证过程更加明确化，让概念的论证过程更加可操作、可测量，以至于为教师提高论证能力提供参考．然而话语分析为图尔敏论证模的量化分析提供了可行的途径．最后通过专家型教师和新手型教师函数概念对比研究，进一步说明了量化分析的可行性．研究可以得到以下结论．

5.1 图尔敏论证模型丰富和充实了传统的“三段论”

从表1中TAP各要素含义的界定可以发现，基本模型和三段论是高度一致的．基本模型通过主张、资料和根据满足了“三段论”的大小前提，保证了论证过程基本的要素构件；亚里士多德“三段论”的主要假设是“在某些论证框架下，若前提为真，则应用前提所产生的结论一定也为真”．这种基于大前提（寻找证据）、小前提（找寻支持理由），而得到结论（产生知识）的方式是现代逻辑的主要参考[21]．数学中的逻辑推理也往往采用该模式．然而，TAP将该论证过程进行了分解，将“三段论”的论证过程划分成了主张、资料、根据、支援、限定词和反驳这6个要素．这样划分不但使论证过程更加明确，而且可以依据不同元素对论证的质量进行分析．TAP可以通过看这些不同结构元素是否呈现，来判断这一论证的强弱[16]．有研究表明在强调论证的社会性方面时，TAP确实是一个有用的框架[22]．因此将这一模型引入到数学概念教学的论证过程中，可以使得教师更容易改进论证过程，提升自己的论证能力．但是TAP也存在着局限，因为它仅重视论证形式的完整性，但并未对内容的科学性做出检查，也就是说TAP只考虑到了逻辑结构，而未考虑使用者的知识内容是否正确[23]．因此在数学概念的论证过程中，需要将TAP中的各要素和“三段论”的严密逻辑推理结合起来，既要使论证过程更加充实丰富，又要严格保持数学概念的科学性．

5.2 多样化的论证要素是充分论证的基本条件

依据表4论证要素的分析可以看出，专家型教师的论证要素无论是在总量上，还是在各论证要素的比例上都明显高于新手型教师．可见论证能力是在不断发展的，教师由新手型教师成长为专家型教师的过程，其概念教学中的论证要素增多，论证能力增强．究其原因可以追溯到苏格拉底的反诘法，该方法认为：“真理可以由反复深入的对话而得到，对自然世界的理解是共同对话建构出来的．”[24]只有丰富的论证要素和论证要素的多元化，才能保证论证过程的充实，才能理解问题．Newton等人指出限制教师进行论证教学的因素有两种：外在因素和内在因素．外在因素主要指教学时间的不足，教学内容过多以及评价方式的限制；内在因素主要指教师本身对此教学方法的适应，包括在开展论证方面所面临的困难（如论证教学过程中的角色定位与师生关系，论证所使用的教材与教学自信等）以及教师的数学教育观等都会影响论证教学效果[25]．TAP将数学概念的论证进一步精细化和系统化，让教师在概念教学论证方面有法可依，有据可循．然而，TAP也存在不少弊端，有研究表明它不能足够解释认识动力学和论证的社会学标准[26]，简单利用TAP对学生的论证行为进行编码，会使理解主张的接受和拒绝标准、隐含的前提条件和社会内部的动态存在困难[27]．

5.3 高水平的论证不仅强调论证元素的量，更应该检验论证元素的质

研究对教师教学论证能力的考量主要基于两点，其一是论证要素的数量，尤其是扩张模型中论证要素的比例．图2的分析结果表明：新手型教师在论证要素数量上和论证水平上都相对低于专家型教师．新手型教师不能提供充分的观点供学生辨别论证，对于提出的主张也没有充分的素材、依据加以佐证．在扩展性论证方面，论证的反驳、支援和限定词使用明显较少，整体论证水平相对较低．Osborne等人认为，反驳的出现更能提升论证的品质，提高论证空间质量[16]．但相比反驳要素使用频次的多少，反驳的品质更为重要．有研究表明论证中包含越多的高品质反例，则论证的整体品质越高[28]．因此，在概念教学中，能够有效地引起学生对概念的不同争鸣，对于深层次的理解概念起到很大的作用．图尔敏模型的论证结构及论证内容品质，认为一个强论证应包括许多辩护来支持一个结论，且此结论需整合相关、特定、精确的科学概念或事实．而此研究并没有检验这个主张的概念内容是否精确[29]．再一次充分说明论证过程是一个量和质双提升的过程．在TAP显然是依据论证过程中各元素的量在衡量论证水平和论证的质量，但在论证的科学性和逻辑性方面强调不够，数学概念教学更应该强调这方面的因素．

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Quantitative Research Design of Mathematical Concept Teaching Demonstration Based on TAP

WU Xiao-peng1, 2, ZHANG Yi1, 2

(1. School of Mathematics and Statistics, Qiannan Normal University for Nationalities, Guizhou Duyun 558000, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Argument reasoning ability was a key ability in the process of mathematical learning, especially in the study of important concepts, the process of systematic argumentation of concepts should be strengthened. TAP was able to structurally dissect the argument process of concept. It could be more specific and in-depth analysis of the teaching process of the teacher’s concept teaching, and master the level of teaching of the teacher’s classroom teaching. Based on the TAP and the division of argumentation level of Erduran et al, the article constructed the analytical framework of argumentation level in mathematics concept teaching. Then, according to the IRF structure pattern of classroom teaching, the mathematics concept teaching was divided into several small talk turns. From the perspective of discourse analysis, the demonstration process of classroom teaching was coded and statistically analyzed, and then the quantitative analysis was made. This paper attempted to build an argumentation and analysis framework for mathematical concept teaching with the help of TAP and related theories of discourse analysis, to provide references for accurate argumentation and analysis of mathematical concept teaching.

TAP; IRF; demonstration teaching; concept demonstration

2019-09-27

2018年贵州省教育科学规划青年课题——话语分析视角下课堂教学体现数学核心素养的测评研究（2018C002）

武小鹏（1986—），男，甘肃天水人，黔南民族师范学院副教授，华东师范大学博士生，主要从事数学课程与教学及课堂教学评价研究．

G633.6

A

1004-9894（2019）06-0076-05

武小鹏，张怡．基于TAP的数学概念教学论证过程量化研究设计[J]．数学教育学报，2019，28（6）：76-80．

[责任编校：张楠、陈汉君]