多种积分类型的统一形式

陈实 陈小艺 傅勤

【摘要】积分是高等数学和数学分析课程中的重要问题，多种积分类型有着不同的表达形式.本文通过分析定积分、重积分、曲线积分和曲面积分中的典型例题，探究各类积分之间的关联性，由此构建多种积分类型的统一形式.

【关键词】高等数学;各类积分;统一形式

【基金项目】苏州科技大学2018年大学生创新创业训练计划项目“《数学分析》课程内容的扩展、思索、问题研究”（2018199）.

积分是高等数学[1]和数学分析[2]课程中的重要内容，是学习常微分方程和概率论等数学课程的基础，也是大学数学教与学的重点.根据积分区域维数的不同，积分有多种形式，具体而言，为定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等.在学习过程中，重积分、曲线积分和曲面积分的概念容易混淆，计算也较为烦琐，这激发了我们的思考：能否运用重积分、曲线积分和曲面积分之间的关联性，构建出统一的积分形式，以有助于这方面知识点的教与学工作.

本文从空间维数角度出发，借助于一些约束条件的设置，着重分析重积分、曲线积分和曲面积分之间的关联性，并由此构建这几类积分的一种统一表达形式.

一、问题分析

积分是在极限条件下，某种数量无限分割的求和.一般来说，积分由积分号、积分区域、积分变量和被积函数构成，其中被积函数可以含有不同的自变量个数，积分区域也可以是不同维度的空间集合，甚至为没有直观几何意义的……