线性目标函数的几种“变式”及相应最值的求法

谯用

【摘要】在线性规划问题中，我们常常会遇到非线性目标函数的问题，遇到这类问题，我们该如何处理呢？

【关键词】线性规划;目标函数;几种变式

线性规划是优化的具体模型之一.在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决简单的线性规划问题，不必引入很多名词.在《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》中，对线性规划有这样的描述：“对线性规划仍以考查线性目标函数的最值为重点，还可能以考查线性规划思想方法的形式出现，如利用代数式的几何意义（距离、斜率、面积等）求最值”.基于此，我们说目标函数存在几种变式.

例1 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，在A，B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用时数分别為400和500.如何安排生产可使收入最大？

这个问题的数学模型是二元线性规划，要求从实际问题中抽象出简单的二元线性规划问题，然后加以解决.

解 设甲、乙两种产品分别生产x，y件，约束条件是

x+2y≤400，2x+y≤500，x≥0，y≥0，

目标函数是z=3x+2y.

要求出适当的x，y，使得z=3x+2y取得最大值，要先画出可行域，如图所示，考虑3x+2y=a，a是参数，将它变形为y=-32x+a2，这是斜率为-32、随a变化的一组直线.a2是直线在y轴上的截距，当a2最大时a最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.

在这个问……