主题拓展，让思维向更深处漫溯

○蒋守成

在已有教材内容基础上，在不改变当下教材体系的前提下，通过资源整合、融通，用主题的方式进行拓展教学，这是我们研究并传承华罗庚的“一条龙教学法”思想提出的教学主张。

一、主题拓展教学的内涵解析

所谓主题拓展教学，是以“发展思维”为核心，“提升数学核心素养”为目标，围绕有价值的主题“牵一发”而“动”学生已有知识与能力体系的“全身”，将课内外、各学科零碎的内容统整起来，促进学生形成系统化、结构化思考的开放式教学。

“主题拓展教学”不是让学生获得一堆零散、呆板、无用的数学知识，而是师生共同经历的一段智慧之旅，促进学生形成系统化、结构化的数学思维方式，获得数学的基本思想，掌握解决问题的一般策略和方法，从而通过数学更好地认识现实世界，解决现实世界中具有挑战性的问题。

主题拓展教学是基于教材进行课程开发形态的一种教学主张，它是对日常课堂教学的融合和补充，是学生根据已有认知水平和已有生活经验进行有序联想、自由思考的一种学习形态，更多地趋向于以主题为载体的独立思考和合作研究。

二、主题拓展教学的组织实施

“主题”是主题拓展教学的“魂”，它既是教学活动的主线，也是生发学生思维的核心；既是教师进行教学规划的“种子”，也是学生形成系统化思考的“发源地”。“拓展”是数学主题教学的方式，它可以从条件或结论出发围绕主题通过追本溯源，不断向未知的领域进行拓展，掌握其来龙去脉以及相关知识和问题的内在联系；也可以从问题出发，围绕主题通过资料查找、数据统计、逻辑推理、问题转化等途径解决问题。让学生从具体到抽象或从抽象到具体的过程中穿梭，表面上是对一个问题的深入理解或解决某个问题，本质上是一种系统化、结构化的数学思维方式和数学基本思想的有力渗透。

1.循序推断，把握知识的逻辑之链，促进学生形成系统化、结构化的思维方式。

学生学习的内容本身是按照一定的逻辑关系来安排的，但往往会出现割裂和离散的现象，这就需要梳理和推断形成系统结构。

例如：按照正常的逻辑关系，相邻的两个面积单位的进率应该都是100，那为什么公顷和平方米的进率是10000呢？同样的道理，每相邻两个长度单位的进率是10，为什么千米到米的进率是1000呢？这会给学生的系统化认知造成障碍。因此，我们可以从问题出发，围绕面积单位这个主题追本溯源，在求联中系统推理，明晰其中的原理。

首先，理清面积单位进率的“序”。通过课前资料查找，学生明白面积单位在教材中呈现的只是其中的一部分，原来的公制面积单位公亩（a）已经不再使用，教材也就没有介绍。因为1公亩等于100平方米，如果将公亩算进去每相邻两个面积单位的进率都是100。那为什么教材不把公亩放在里面进行教学呢，一是数学优化的结果，二是担心和市制计量单位“亩”混淆。

其次，按面积单位规定的“序”进行合理推断。边长是100米的正方形土地面积是1公顷，为什么要这样规定？原来相邻的长度单位的进率也都是10，只是十米和百米跟公亩一样在实践过程中优化了。按照面积规定的“序”：边长为1厘米、1分米、1米、10米的正方形的面积分别是1平方厘米、1平方分米、1平方米、1公亩，学生由此进行合理推断得到边长是100米的正方形土地面积是1公顷，再大一点就是边长1千米的正方形面积为1平方千米，这样的数学化的推算过程渗透了推理的思想，也为学生后续学习平方千米找到了路径，形成了正迁移。

教材编写时会强调概念和命题之间的逻辑结构，会按照学生认知的“序”进行科学编排。例如，图形的面积计算，从长方形（正方形）的面积计算开始，到平行四边面积计算，再到三角形面积计算、梯形面积计算，最后到圆的面积计算。然而，我们仅仅看到这种线性的、单向的“逻辑结构”显然是不够的。例如，我们在教学三角形面积时就不仅仅满足于转化成平行四边形这一个路径，还可以通过折纸的方式转化成长方形。教学圆的面积时也不仅仅满足于转化成长方形，还可以转化成三角形、梯形。同理，梯形不仅可以转化成平行四边形，也可以转化成长方形。

图形之间是可以多元相互转化的，打破了由于教学的先后次序所形成的逻辑线索的束缚，在平面图形面积之间建立更为广泛的联系，形成了结构化表达，也意味着内部的“线索”更加丰富。

2.融通整合，主题关联零碎散落的教学资源，促进学生构建新系统，获得新见解。

研究表明，当学习者所掌握的知识以一种网络结构的方式进行排列的时候，就可以大大提高知识的提取应用的效率，从而提高解决问题的能力。数学主题拓展教学从主题出发，通过网络结点主动关联相关内容，形成纵横交错、有机互补的新的主题结构，随着经验和知识的生长，将不断丰富该结构，促进学生构建新的系统，获得新的见解。

例如，学习圆柱体的体积后有这样一道题：选一张长方形纸，卷成两个大小不同的圆柱，分别算出体积。与同学交流，怎样卷圆柱的体积比较大？

我们发现，教师的处理方式大都是：给出具体的数据，让学生计算得出结论，然后让学生记住以长为底面周长时卷成的体积大。学生通过计算获得答案，然后形成经验。那么，这种经验一定是正确的吗？有没有更好的方法呢？由此，我们以“圆柱体的再认识”为主题进行拓展教学，让学生对圆柱的体积、表面积构建更丰富的系统，获得新的见解。

首先，构建圆柱体体积方法的新系统。

圆柱体的体积是由长方体的体积转化得来的，因为长方体有三个不同的面，所以体积就有三种不同的表达，由此推断圆柱体的体积应该有三种不同的表达形式，让学生构建体积方法的新模型，获得解决问题的新路径。我们可以寻找到一般的方法进行证明谁卷成的体积大。如果将拼成的长方体翻转，即原来圆柱侧面积的一半作底，就可以得到新的方法：侧面积的一半乘底面半径。

学生运用刚才的推导公式来解释为什么以A4纸长边为周长卷出来的圆柱的体积大。如图，侧面积一样的情况下，半径越大，体积越大。同样道理，将一张长方形A4纸分别以长和宽为半径旋转形成的圆柱体哪个体积大？如图，通过推断得到新的求体积的方法，可以得出结论。

通过两个现实的问题，丰富了圆柱和长方体体积之间的联系，使学生更好地体会推理基本思想的价值。

其次，构建圆柱体表面积方法的新系统。

通过“圆柱体再认识”这一主题进一步让学生明晰数学知识间内在的逻辑关系，帮助学生建立清晰的知识结构和方法结构，将原本散落在教材中的零碎知识以结构关联的模型呈现出来，为后续的学习提供系统化的思维路径。

3.主题研究，创造学生“主动思考”的关键事件，帮助学生获取解决复杂问题的能力和素养。

除了通过循序推断、融通整合促进学生形成系统化结构化的思维方式，更需要向学生展现真实世界的复杂和多变，让他们有可能在非常规、非线性的复杂问题求解过程中，重组经验系统，历练系统思维。

（1）选择现实的有挑战性的问题进行主题研究。

例如，五年级学生进行“住房面积有多大”的主题研究。问题有：学生如何运用学到的规则图形面积的知识，去解决实际生活中不规则图形的面积问题？对于住房面积中的实际使用面积、墙体面积、公摊建筑面积等概念，学生如何运用已经学会的面积知识来理解？使用图纸计算和通过实际测量计算哪种方法好？实际测量的面积和房产证上的面积有哪些区别？在研究中，学生经历了收集数据、作出假设、建立模型、实践检验、作出决策等过程。

像这样的主题研究活动，我们已经形成了系列。例如：六年级“胶带纸有多长”、四年级“妈妈有多少根头发”、五年级“树叶的面积有多大”等，带领他们走向更广阔的数学世界，感悟数学思维精髓与数学素养的魅力。

（2）选择经典的数学问题进行主题研究。

我们对小学生能懂的经典的数学猜想和数学名题，如“冰雹猜想”“四色问题”“孪生素数猜想”“李白喝酒”“省刻度尺”等进行主题拓展研究。给学生种下一颗数学研究的种子，让他们能够有机会尽早接触经典问题，经历和数学家一样的研究历程，并在解决问题的过程中，积累活动经验，感悟数学思想，沉淀数学素养。

“主题拓展教学”的探索，打破了传统的以“课”为组织、以知识“点”为单位的固化教学框架，明显跳出以单纯课堂教学组织方式改良的范畴，拓展了数学学习的渠道，丰富了数学学习的方式，为小学数学课程的实施提供了新的视角，也积累了实践经验。