高等代数中的线性变换思想应用

闫雷 亢佳萌

高等代数作为本科专业一门重要的课程，具有较大的难度和复杂性，但是对于学生其他专业课程的学习，高等代数能够起到基础性的作用。线性变换是高等代数课程中的核心内容之一，有着丰富的理论内容，一般对线性变换的研究是在线性空间中取一组基，接着求出线性变换在这组基下的矩阵，然后就可以将现象变换的研究转化为对数域上方阵的研究。本文主要探讨了高等代数中线性变换思想的应用。

1 线性空间和欧式空间

1.1 线性空间

高等代数中的线性空间是一个给出法则，设定一个V集合，其中任意两个元素且是在非空的集合V中有数域P中的运算，定义为一种加法的运算，同时，在数域P中的任意元素还是乘法的运算，可以称为乘积的数量，这就可以记为P、V就是数域的线性空间，并且还满足交换律、结合律以及数的分配律等规则。

1.2 欧式空间

高等代数中线性空间主要涉及到的运算是加法和数量的乘法的运算，对于几何问题的空间推广会涉及到引入度量，比如长度、夹角等，丰富线性空间的内容和方法。准确地把握施密特的正交组基的基本性质和好处，并利用好标准的正交基的特性。

2 高等代数中线性变换思想的应用

2.1 线性变换的定义

设V是数域P上的一个线性空间，是一个映射，如果对任意的，都有：，那么称是线性空间V上的一个线性变换。对于线性变换具有以下的一些性质，如果是線性空间V上的一个线性变换，那么

2.2 线性变换在有限维线性空间上的应用

对于有限维线性空间而言，高等代数中的大多理论通常是在其中展开的，有限维线性空间上的线性变换理论也是高等代数课程中较为重要的内容，并且线性变换理论也得到了充分的应用。但需要学生进行注意到的是，许多在有限维线性空间上线性变换的理论事实，不一定会在无限维空间上成立。就以高等代数中的映射为例进行相应的说明，映射中的单射和满射并不是互相决定的存在，所以对于一个是双射的映射而言，其满足的充分必要条件是当且仅当既是单射又是满射。在有限维线性空间上，线性变换可以作为一种特殊的映射存在，如果将V设为维线性空间，，那么就是单射，其条件是当且仅当是满射。这就表明在有限维线性空间上，作为特殊映射而存在的线性变换只要是单射或者满射，就能够很容易证明该映射是双射，但是这一性质的存在对于无限维线性空间而言，确不一定是成立的。

例1：如果，在V上存在两个线性变换，分别定义为：，那么很容易证明是满射但并不是单射，而是单射但不是满射。

例2：关于维Euclid空间上的正交变换，令V为维Euclid空间，，那么下列5种情况等价：

1. 为正交变换;
2. 是线性空间V的标准正交基底;
3. 在线性空间任意的标准正交基底下的矩阵，都可以是正交矩阵（正交矩阵即的实矩阵）;
4. 在某一标准正交基底下的矩阵，也可以看作正交矩阵;
5. 保持向量的长度不变，即  

所以在Euclid线性空间V上的正交变换，是具有可逆性的，并且对于其与线性变换的合成运算，可以当作一个群，对于正交变换而言，需要保持内积和其任意两点间的距离，那么这个群可以当作Euclid线性空间V。而对于一些无限维线性空间上的正交变换而言，其涉及到的线性变换的合成运算，一般只能作为一个半群看待，实际上某些无限维线性空间上的正交变换不一定具有可逆性。

2.3 线性变换的相关性质

在线性变换思想中，存在着较多的线性性质，不过在这些线性性质中存在着一些性质，这些性质的成立不会将线性条件作为前提，并且对这些性质而言，它们本身就具有一定的线性条件。本文中通过线性空间中的正交变换和对称变换，进行相应的分析。

例3：在大多高等代数课本中，对于正交变换是这样的定义：维线性空间V上的线性变换称为正交，如果保持其向量的内积不变，即，實际上不需要提前假设变换是线性的，原因是只要满足上述的条件，通过相应的计算就可以得到，对于任意的，都有，所以一定是线性的。

3 总结

综上所述，作为高等代数中的重要内容之一，线性变换在许多方面都发挥着很好的应用。在高等代数的线性空间中，也涉及到线性变换思想的应用，对于解决一些高等代数的问题具有极大的帮助。通过了解高等代数中线性变换思想的应用，可以帮助初学者更好地学习高等代数的相关内容，并且可以很容易解决一些线性变换的问题。

（作者单位：北京明悟德生物技术有限公司）