巧用n(n-1)/2和n（n-1）解决实际问题

陈永志

[摘要]一元二次方程解决实际问题是中考数学命题的热点，也是初中数学教学的一个难点.运用n（n-1）/2和n（n-1）可以解决一元二次方程实际问题.

[关键词]一元二次方程;实际问题;解决

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0027-02

运用一元二次方程解决实际问题是初中数学教学的主要内容，既是中考数学的热门考点之一，也是教学的难点.新课标要求，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.新课程改革后，初中数学的教材中，每一章书的开篇一般都是以实际问题为背景来导人新学的知识，这样既可以宣传国家的相关政策，具有德育的功能，又可以激发学生的学习兴趣，在学习数学的知识过程中渗透一些生活实际问题来提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.几年来，笔者曾参加中考阅卷工作，在阅卷过程中发现，很多学生在完成运用一元二次方程解决实际问题的类型题中出现较多的失误，甚至有些学生对这些题目无从下手，这几年笔者一直担任初三毕业班的数学教学工作，在中考备考中也有所收获，以下就n（n-1）/2和n（n-1）解决实际问题举例说明.

类型一：球赛场数问题

[例1]某初中要进行班际足球比赛，要求每两队之间只进行一场比赛，共要比赛45场，共有几队参加比赛？

分析：根据已知条件，可以引导学生注意两队之间只进行一场比赛，即比赛是以单循环形式进行的，

解：设共有n个球队参加比赛，于是n（n-1）/2= 45.

解方程得n1= 10，n2= -9.

因为球队的数量是正整数，所以n2= -9不符合题意，舍去，所以共有10个球队参加比赛.

[例2]某初中要进行班际足球比赛，要求每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有几队参加比赛？

分析：根据已知条件，本题是将例1中的两队之间只进行一场比赛改为进行两场比赛，即比赛是以双循环形式进行的，

解：设共有n个球队参加比赛，于是

n（n-1）=90，

解方程得：n1= 10，n2= -9.

因为球队的数量是正整数，所以n2= -9不符合题意，舍去，所以共有10个球队参加比赛，

例1和例2其实是球赛的赛制问题，是一个热点问题，学生日常生活中经常接触的体育运动，也是学生感兴趣的问题，在平时的学习过程中，数学教材也常用有关体育问题来作为情境，激发学生的学习兴趣，在平时的学习或考试中出现，学生容易出现分不清的现象，什么时候用单循环比赛形式，什么时候用双循环比赛形式，教师可以多举类似球赛场数的例子，

类型二：票价与车票的问题

[例3]某列动车从城市A到城市B，中途要停5个站，且任意两个站之间的距离不等，车费按公里数计算，问动车从城市A到城市B共有几种票价？

分析：由已知条件，任意两个城市之间的动车票价是不同的，而且动车在两个城市之间的只有一种票价，

解：由已知可得，动车从城市A到城市B的票价总数为7x（7 -1） =2

2

（种），所以动车从城市A到城市B共有21种票价.

[例4]某列动车从城市A到城市B，中途要停5个站，问动车从城市A到城市日共有几种车票？

分析：由已知條件，任意两个城市之间的动车往返车票是不同的，因为车票有起始站，所以两个城市之间应该有两种车票，

解：由已知可得，动车从城市A到城市B的车票总数为7x（7 - 1）= 42（种）.

所以，动车从城市A到城市B共有42种车票，

中国已经进入了高铁时代，宣传中国的铁路交通运输也常作为初中数学教学问题引入的情境，通过学生熟悉的购买车票的问题来激发学生的学习兴趣，由例3和例4可以看出，车票和票价属于不同类型的问题，但又存在互相关联，

类型三：几何问题

[例5]如图1，图中共有几条线段？共有几条射线？

分析：本题主要是线段和射线的问题，线段没有方向，但射线有方向， 解：线段共有5×（5-1）/2= 10（条），射线有5x（5-1）=20（条）.

[例6]在同一平面内，任意两条直线都不平行的100条直线最多有多少个交点？

分析：由题目已知，在同一平面内，任意两条不平行直线必相交，

解：共有100×（100-1）/2= 4950（个）.

类型四：QQ电话与QQ信息问题

[例7]某个班级QQ群里共有n人同学，如果两两同学互相通电话，且任意两个人只通一次，共通了990次电话，求n的值，

分析：本题中，由已知可得，任意两个人只通一次电话，

解：由题意得n（n-1）/2=990，解方程得n1=45，

n2= -44.因为人的数量是正整数，所以n2= -44不符合题意，舍去，所以n的值为45.

[例8]某个班级QQ群里共有n人同学，如果两两同学互相发信息，且每个人都发给其他同学一条信息，共发了1980条信息，求n的值，

分析：由已知，任意两个同学之间要发两条信息，

解：由题意得n（n -1）=1980，解方程得：n1=45，n2= -44.因为人的数量是正整数，所以n2= -44不符合题意，舍去，所以n的值为45.

当今社会是一个网络高速发展的时代，学生对网络也是非常熟悉的，结合现实生活实际在数学教学活动中如何处理数据的问题也可以激发学生的学习热情，

运用n（n-1）/2和n（n-1）解决实际问题除了以上列举的问题外，还有各种聚会中所有人两两握手的问题、签合同的问题、一些几何问题等，在此就不一一列举了.

[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[s].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（九年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所.义务教育教科书·数学（七年级上册）[M].北京：人民教育出版社，2012.

（责任编辑黄桂坚）