高中数学圆锥曲线解题技巧之我见

张蓓媛

【摘 要】 高中数学教学中有很多重点和难点，在这些环节的突破中，教师需要巧妙地锁定教学策略，结合学生的实际学习现状，通过问题的引领、方法的点拨启发学生一步一步解决重点和难点。笔者就结合圆锥曲线类问题，借助具体的例题进行了探讨，希望能促进学生学習能力的提升。

【关键词】 高中数学;圆锥曲线;能力

圆锥曲线是高中数学的重点与难点知识，属于高考必考知识点，以计算烦琐而著称。教学中为提高学生的解题能力，增强学生解答圆锥曲线习题的自信，教师就应注重在课堂上传授相关的解题技巧，帮助学生充分把握圆锥曲线习题的特点以及相关的解题技巧，使学生能够根据实际情况灵活应用相关方法，进而突破这一学习难点。

一、借助图形，巧找参数关系

解答圆锥曲线试题时，迅速正确地找到参数之间的关系是关键。为帮助学生更好地找到参数之间的关系，迅速求解圆锥曲线习题，教学中应注重为学生渗透数形结合思想，认真讲解各类圆锥曲线的几何性质，使学生准确记忆，深刻理解，搞清相关参数的内在关联。同时，围绕具体例题讲解，使学生掌握解题时应注意的细节，认真审题，冷静分析，充分挖掘隐含条件，确定正确的参数范围，绘制正确的图形，灵活运用圆锥曲线的几何性质求解。

例1：已知双曲线的方程为-=1，F1，F2分别为其左右焦点，其上有一点P（，），已知△PF1F2的内切圆和x轴切于点M，则·的值为____。

解答该题时需要根据题意绘制相关的图形，借助图形找到参数之间的关系，运用双曲线知识进行求解。由点P坐标，不难求出双曲线的方程为：x2-=1。根据题意绘出如图1所示的图形，设M（x，0），则由椭圆知识以及几何知识可知|PF1-PF2|=2，|PN|=|PM|，|NF1|-|HF2|=2，则不难推出|MF1|-|MF2|=2，即（x+2）-（2-x）=2，解得x=1，则M（1，0），·=（-1，）·（1，0）=-1。通过该题目的求解，使学生认识到借助图形解答圆锥曲线习题能很快找到相关参数的关系，大大降低解题难度。

二、运用结论，少走解题弯路

圆锥曲线涉及很多结论，部分结论具有普遍性，应用于解答相关习题过程中，经过简单的计算便可得出答案，促进学生解题效率的提升。授课中要注重围绕某一具体的曲线方程，为学生详细讲解相关结论的推导过程，使学生不仅要准确记忆，更要能够顺利地推导，做到知其然，更知其所以然，以实现灵活应用。同时，提高学生应用结论解答圆锥曲线问题的意识，结合具体例题，引导学生分别使用常规法以及结论法解题，使学生体会应用结论法解题的便利。

例2：已知椭圆方程：+=1（a>b>0），其中长轴为短轴的2倍。一斜率为k（k>0）的直线过右焦点F，和椭圆交于A、B两点，若=3，则k=_____。

该题目属于常规题目，解题中，应用相关结论经过简单的计算便

可得出结果。该结论为：过椭圆+=1（a>b>0）右焦点F且倾斜角为a（a≠0）的直线与椭圆相交于A、B两点，且满足=，则椭圆的离心率为。显然，该题可以直接套用该结论。由长轴是短轴的二倍，则不难求出离心率e=，又因为k=3，直接代入可得|cosa|=，因为a∈（0，），则cosa=，k=tana=。通过该题目的解答，使学生认识到应用结论求解圆锥曲线习题，既能保证解题结果的正确性，又能很好地提高解题效率，使其在学习中注重相关结论的推导与记忆，并灵活用于解题中。

三、巧设方程，避免解题讨论

解答圆锥曲线习题时，部分习题因不知道圆锥曲线的焦点在哪一个轴上而需要进行分类讨论，计算较为烦琐，而根据题干条件巧设方程就能有效简化计算。教学中应注重对圆锥曲线相关问题进行汇总，并在课堂上为学生认真讲解，使学生掌握该类题型的特点。如求解与已知椭圆、双曲线共焦点的椭圆方程、双曲线方程，求解与已知双曲线有共同渐进线或已知渐进线的双曲线方程，不清楚焦点在哪个轴上双曲线的标准方程，就可通过巧设方程避免解题时的讨论。另外，为学生讲解巧设方程的结论，要求学生牢固记忆，使其在解题中能够迅速找到高效的解题思路。

例3：已知双曲线方程为：-=1，求和该双曲线有公共渐进线且过点A（，3）的双曲线的标准方程。

该题目不确定双曲线的焦点在哪个轴上，因此采用常规做法需要进行分类讨论，较为烦琐。而将待求解的双曲线的标准方程设为-=k（m，n>0），将A点坐标代入，不难求出要求解的双曲线方程为：-+=1。通过该题目的求解，使学生认识到巧设方程能避免解题中的麻烦，提高解题效率。另外，授课中还应注重为学生讲解其他巧设方程的技巧，如已知渐进线方程为y=±mx（m>0），求双曲线的方程时可设为：y2-m2x2=k（k≠0）。

综上所述，圆锥曲线在高考中分值占比较高，为提升学生的圆锥曲线解题能力，教学中既要注重圆锥曲线基础知识的全面深入讲解，又要注重总结相关的解题技巧，同时要求学生加强训练，养成良好的解题习惯，不满足于得出正确结果，而要尝试着从其他角度入手，寻找更佳的解题技巧，促进学生圆锥曲线习题解题水平迈上一个新的台阶。

【参考文献】

[1]魏慧.借力数学探究，提高学生“四能”，发展核心素养——“圆锥曲线的统一定义”一课的教学感悟[J].中学数学，2020（01）：7-9.

[2]谷留明.圆锥曲线两垂直切线的交点轨迹探究[J].中学数学研究，2019（12）：22-23.